AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Разложение определителя по строке (столбцу) с предварительным преобразованием определителя (метод эффективного понижения порядка).

Перед прочтением данной темы рекомендую хотя бы бегло ознакомиться с предыдущей темой "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)". Мы будем использовать те же формулы, что и в упомянутой теме. Т.е. для вычисления определителя квадратной матрицы \(A=\left( \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)\) станем применять разложение по строке:

\[ \begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation} \]

или же разложение определителя по столбцу:

\[ \begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation} \]

Однако на сей раз постараемся по максимуму упростить применение формул (1) и (2). Сделаем так, чтобы в правых частях формул (1) и (2) все слагаемые, кроме одного, стали равны нулю. Для этого потребуется, чтобы в выбранной строке или столбце все элементы, кроме одного, стали равны нулю.

Для того, чтобы обнулить элементы, нам пригодятся несколько свойств определителей, которые указаны в теме "Некоторые свойства определителей". Те свойства, которые мы будем использовать для понижения порядка в данной теме, я запишу ниже. В примечании после каждого свойства будет указан пример его применения. Чтобы увидеть пример достаточно развернуть примечание.

  1. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.
    Пример применения этого свойства

    Рассмотрим определитель \(\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|\). Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это так \(r_2+5\cdot{r_3}\). Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

    \[ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. \]
  2. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
    Пример применения этого свойства

    Рассмотрим определитель \(\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|\). Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

    \[\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|\]

    Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

    \[ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| \]

Буквами \(r\) (от слова "row") станем обозначать строки: \(r_1\) – первая строка, \(r_2\) – вторая строка и так далее. Буквами \(c\) (от слова "column") станем обозначать столбцы: \(c_1\) – первый столбец, \(c_2\) – второй стролбец и так далее.

Задача №1

Условие

Найти определитель матрицы \(\left(\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right)\).

Решение

Нам нужно найти \(\Delta =\left|\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right|\). Выберем какую-либо строку или столбец в данном определителе. Выбор ничем не ограничен, но из соображений упрощения решения можно выдвинуть такие критерии выбора: побольше нулей и хотя бы одна единица в том столбце или строке, что вы выбираете. Или уж на крайний случай, если единицы нигде нету, то хотя бы наличие (-1). Для чего нужны единицы в выбираемом столбце или строке, будет видно из дальнейшего решения. Случай, когда нету ни 1 ни (-1) будет рассмотрен в задаче №2. В нашем случае можно выделить два кандидата: четвёртую строку и третий столбец. Я предпочитаю работать со столбцами, поэтому выбираю третий столбец.

Итак, столбец выбран. В этом столбце выбираем один ненулевой элемент. В столбце №3 можно выбрать любой элемент, но лучше всего на роль "избранного" элемента подойдёт единица. Цель: сделать так, чтобы все элементы третьего столбца (кроме избранного) стали равны нулю. Избранный элемент, который будем использовать для обнуления остальных, выделен красным цветом. Остальные элементы, которые подлежат обнулению, для наглядности выделены иными цветами:

\[ \left|\begin{array} {cccc} -4 & 19 & \normgreen{2} & -1\\ 7 & -30 & \normblue{-3} & 17\\ -3 & 8 & \boldred{1} & -4\\ 2 & 1 & \normpurple{-1} & 8\end{array}\right| \]

Начнём обнуление. Мы будем использовать свойство (1). Преобразуем столбец №3, выполнив во строками такие операции:

\[ \begin{aligned} & r_1-\frac{\normgreen{2}}{\boldred{1}}\cdot{r_3}=r_1-2r_3;\\ & r_2-\frac{\normblue{-3}}{\boldred{1}}\cdot{r_3}=r_2+3r_3;\\ & r_4-\frac{\normpurple{-1}}{\boldred{1}}\cdot{r_3}=r_4+r_3. \end{aligned} \]

Запись \(r_1-2r_3\) означает, что от элементов первой строки надо вычесть соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 2. Для наглядности я запишу эту операцию отдельно:

\[ r_1-2\cdot{r_3} =(-4;\;19;\;2;\;-1)-2\cdot(-3;\;8;\;1;\;-4) =(-4;\;19;\;2;\;-1)-(-6;\;16;\;2;\;-8) =(2;\;3;\;0;\;7) \]

Остальные действия выполняются аналогично. В результате всех осуществлённых преобразований со строками элементы исходного определителя будут изменены:

\[ \Delta = \left|\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right| \begin{array} {l} r_1-2r_3 \\ r_2+3r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \end{array}= \left|\begin{array} {cccc} 2 & 3 & 0 & 7\\ -2 & -6 & 0 & 5\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ -1 & 9 & 0 & 4\end{array}\right|. \]

Полагаю, уже понятно, зачем мы выбрали в качестве "красного" элемента именно единицу. Эта единица всегда оказывается в знаменателе, а делить на единицу – сплошное удовольствие :) Работать с целыми числами гораздо проще нежели с дробями.

Разложим полученный нами определитель по третьему столбцу, используя для этого формулу (2). Подробное пояснение процесса использования этой формулы можно прочесть в теме "Разложение определителя по строке (столбцу)". В общем виде для определителя четвёртого порядка разложение по третьему столбцу будет таким:

\[ \Delta = a_{13}\cdot A_{13}+a_{23}\cdot A_{23}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{43}\cdot A_{43} \]

Однако у нас в третьем столбце \(a_{13}=0\), \(a_{23}=0\), \(a_{33}=1\), \(a_{43}=0\), поэтому:

\[ \Delta = a_{13}\cdot A_{13}+a_{23}\cdot A_{23}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{43}\cdot A_{43} = 0\cdot A_{13}+0\cdot A_{23}+1\cdot A_{33}+0\cdot A_{43} = A_{33} \]

Так как

\[ A_{33}=(-1)^6\cdot \left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right|, \]

то \(\Delta=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right|\). Вот так от определителя четвёртого порядка мы пришли к вычислению определителя третьего порядка. Кстати, можно обратить внимание, что все элементы второго столбца полученного определителя делятся на 3, поэтому эту тройку (согласно свойству (2)) можно смело вынести за знак определителя:

\[ \Delta=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right| =3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 2 & 1 & 7\\ -2 & -2 & 5\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|. \]

В принципе, для нахождения полученного определителя мы уже можем применить готовую формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Однако для ещё большего упрощения сведём полученный определитель третьего порядка к определителю второго порядка, а уж затем применим готовую формулу.

Вновь нужно осуществить тяжкий выбор какой-либо строки или столбца. Единица есть в втором столбце, посему логично было бы взять именно его. Однако с единицей мы уже работали, поэтому сугубо для демонстрационных целей я изберу первый столбец. В нём нужно обнулить все элементы, кроме (-1). Элемент, который мы будем использовать для обнуления, выделен красным цветом.

\[ \left|\begin{array} {ccc} \normblue{2} & 1 & 7\\ \normgreen{-2} & -2 & 5\\ \boldred{-1} & 3 & 4\end{array}\right| \]

Преобразования со строками аналогичны тем, что мы делали ранее:

\[ \begin{aligned} & r_1-\frac{\normblue{2}}{\boldred{-1}}\cdot{r_3}=r_1+2r_3;\\ & r_2-\frac{\normgreen{-2}}{\boldred{-1}}\cdot{r_3}=r_2-2r_3. \end{aligned} \]

Продолжим решение, выполнив требуемые преобразования. Если в уме выполнять их затруднительно (а для новичка так и бывает), то запишите их отдельно, как это было сделано ранее.

\[ \Delta = 3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 2 & 1 & 7\\ -2 & -2 & 5\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right| \begin{array} {l} r_1+2r_3 \\ r_2-2r_3 \\ \phantom{0} \end{array} =3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|. \]

Разложим полученный нами определитель по элементам первого столбца. В общем виде это разложение выглядит так:

\[ \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right| = b_{11}\cdot B_{11}+b_{21}\cdot B_{21}+b_{31}\cdot B_{31} \]

Я использовал новые буквы для обозначения элементов и алгебраических дополнений, чтобы не было путаницы с прежними обозначениями, которые мы использовали ранее при разложении про третьему столбцу. Так как \(b_{11}=0\), \(b_{21}=0\), \(b_{31}=-1\), то:

\[ \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right| = b_{11}\cdot B_{11}+b_{21}\cdot B_{21}+b_{31}\cdot B_{31}= 0\cdot B_{11}+0\cdot B_{21}+(-1)\cdot B_{31}=-B_{31}. \]

Так как

\[B_{31}= (-1)^4\cdot \left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ -8 & -3 \end{array}\right|=\left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ -8 & -3 \end{array}\right|, \]

то получим:

\[\left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|=-\left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ -8 & -3 \end{array}\right|.\]

Кстати, знак "минус" можно очень удачно внести в определитель, умножив на (-1) все элементы второй строки:

\[ \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|= -\left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ -8 & -3 \end{array}\right|=\left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ 8 & 3 \end{array}\right| \]

Вернёмся к нашему определителю \(\Delta\):

\[ \Delta=3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|=3\cdot \left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ 8 & 3 \end{array}\right|. \]

Мы вновь понизили порядок определителя, перейдя от определителя третьего порядка к определителю второго порядка. Теперь уже применим готовую формулу для вычисления определителей второго порядка:

\[ \Delta = 3\cdot \left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ 8 & 3 \end{array}\right|=3\cdot (7\cdot 3-15\cdot 8)=-297. \]

Ответ получен, \(\Delta=-297\). Полное решение без пояснений и промежуточных обозначений вылядит так:

\[ \Delta=\left|\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right| \begin{array} {l} r_1-2r_3 \\ r_2+3r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \end{array}= \left|\begin{array} {cccc} 2 & 3 & 0 & 7\\ -2 & -6 & 0 & 5\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ -1 & 9 & 0 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right|=\\= 3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 2 & 1 & 7\\ -2 & -2 & 5\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right| \begin{array} {l} r_1+2r_3 \\ r_2-2r_3 \\ \phantom{0} \end{array} =3\cdot \left|\begin{array} {ccc} 0 & 7 & 15\\ 0 & -8 & -3\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|=3\cdot \left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ 8 & 3 \end{array}\right| =3\cdot (7\cdot 3-15\cdot 8)=-297. \]
Ответ:

\(\Delta=-297\).

Задача №2

Условие

Найти определитель \(\Delta=\left|\begin{array} {ccc} -2 & 3 & -4 \\ 5 & 9 & -7 \\ 4 & -2 & 15\end{array}\right|\), используя разложение по первой строке.

Решение

Выберем произвольный ненулевой элемент в первой строке – например, 3. Обнулим все элементы первой строки, за исключением избранного элемента, выполняя действия со столбцами:

\[ \Delta =\left|\begin{array} {ccc} -2 & 3 & -4 \\ 5 & 9 & -7 \\ 4 & -2 & 15\end{array}\right| =\left[\begin{aligned} &c_1+\frac{2}{3}c_2;\\ &c_3+\frac{4}{3}c_2. \end{aligned}\right]=\\ =\left|\begin{array} {ccc} 0 & 3 & 0 \\ 11 & 9 & 5 \\ 8/3 & -2 & 37/3\end{array}\right| =-3\cdot\left|\begin{array} {cc} 11 & 5 \\ 8/3 & 37/3\end{array}\right| =-\left|\begin{array} {cc} 11 & 5 \\ 8 & 37\end{array}\right| =-367. \]

Отмечу, что для обнуления элементов первой строки можно было выбрать и иной элемент: -2 или -4.

Ответ:

\(\Delta=-367\).

Задача №3

Условие

Найти определитель \(\Delta=\left|\begin{array} {cccc} -1 & 7 & -4 & 1 \\ -12 & 39 & 6 & 5 \\ -7 & 4 & 26 & 0 \\ 11 & -9 & -17 & -2\end{array}\right|\).

Решение

Сразу обратим внимание на четвёртый столбец. В нём есть уже один ноль, а также присутствует единица. Сделаем так, чтобы в четвёртом столбце осталась лишь единица, а все остальные элементы стали нулями:

\[ \Delta=\left|\begin{array} {cccc} -1 & 7 & -4 & 1 \\ -12 & 39 & 6 & 5 \\ -7 & 4 & 26 & 0 \\ 11 & -9 & -17 & -2\end{array}\right| \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-5r_1 \\ \phantom{0} \\ r_4+2r_1 \end{array} =\left|\begin{array} {cccc} -1 & 7 & -4 & 1 \\ -7 & 4 & 26 & 0 \\ -7 & 4 & 26 & 0 \\ 9 & 5 & -25 & 0\end{array}\right| \]

Обращаем внимание, что все элементы второй строки равны соответствующим элементам третьей строки. Следовательно, такой определитель равен нулю (см. свойство №4 в теме "Некоторые свойства определителей"). Конечно, на подобное везение в стандартных примерах рассчитывать не приходится, но шанс есть. Главное, заметить, что некие строки или столбцы равны между собой (или же пропорциональны). Ну, или все элементы какой-либо строки (столбца) после преобразования стали равны нулю. Тогда и определитель будет равен нулю.

Ответ:

\(\Delta=0\).