Задача №1
Найти определитель матрицы \(\left(\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right)\).
Нам нужно найти \(\Delta =\left|\begin{array} {cccc} -4 & 19 & 2 & -1\\ 7 & -30 & -3 & 17\\ -3 & 8 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -1 & 8\end{array}\right|\). Выберем какую-либо строку или столбец в данном определителе. Выбор ничем не ограничен, но из соображений упрощения решения можно выдвинуть такие критерии выбора: побольше нулей и хотя бы одна единица в том столбце или строке, что вы выбираете. Или уж на крайний случай, если единицы нигде нету, то хотя бы наличие (-1). Для чего нужны единицы в выбираемом столбце или строке, будет видно из дальнейшего решения. Случай, когда нету ни 1 ни (-1) будет рассмотрен в задаче №2. В нашем случае можно выделить два кандидата: четвёртую строку и третий столбец. Я предпочитаю работать со столбцами, поэтому выбираю третий столбец.
Итак, столбец выбран. В этом столбце выбираем один ненулевой элемент. В столбце №3 можно выбрать любой элемент, но лучше всего на роль "избранного" элемента подойдёт единица. Цель: сделать так, чтобы все элементы третьего столбца (кроме избранного) стали равны нулю. Избранный элемент, который будем использовать для обнуления остальных, выделен красным цветом. Остальные элементы, которые подлежат обнулению, для наглядности выделены иными цветами:
Начнём обнуление. Мы будем использовать свойство (1). Преобразуем столбец №3, выполнив во строками такие операции:
Запись \(r_1-2r_3\) означает, что от элементов первой строки надо вычесть соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 2. Для наглядности я запишу эту операцию отдельно:
Остальные действия выполняются аналогично. В результате всех осуществлённых преобразований со строками элементы исходного определителя будут изменены:
Полагаю, уже понятно, зачем мы выбрали в качестве "красного" элемента именно единицу. Эта единица всегда оказывается в знаменателе, а делить на единицу – сплошное удовольствие :) Работать с целыми числами гораздо проще нежели с дробями.
Разложим полученный нами определитель по третьему столбцу, используя для этого формулу (2). Подробное пояснение процесса использования этой формулы можно прочесть в теме "Разложение определителя по строке (столбцу)". В общем виде для определителя четвёртого порядка разложение по третьему столбцу будет таким:
Однако у нас в третьем столбце \(a_{13}=0\), \(a_{23}=0\), \(a_{33}=1\), \(a_{43}=0\), поэтому:
Так как
то \(\Delta=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 7\\ -2 & -6 & 5\\ -1 & 9 & 4\end{array}\right|\). Вот так от определителя четвёртого порядка мы пришли к вычислению определителя третьего порядка. Кстати, можно обратить внимание, что все элементы второго столбца полученного определителя делятся на 3, поэтому эту тройку (согласно свойству (2)) можно смело вынести за знак определителя:
В принципе, для нахождения полученного определителя мы уже можем применить готовую формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Однако для ещё большего упрощения сведём полученный определитель третьего порядка к определителю второго порядка, а уж затем применим готовую формулу.
Вновь нужно осуществить тяжкий выбор какой-либо строки или столбца. Единица есть в втором столбце, посему логично было бы взять именно его. Однако с единицей мы уже работали, поэтому сугубо для демонстрационных целей я изберу первый столбец. В нём нужно обнулить все элементы, кроме (-1). Элемент, который мы будем использовать для обнуления, выделен красным цветом.
Преобразования со строками аналогичны тем, что мы делали ранее:
Продолжим решение, выполнив требуемые преобразования. Если в уме выполнять их затруднительно (а для новичка так и бывает), то запишите их отдельно, как это было сделано ранее.
Разложим полученный нами определитель по элементам первого столбца. В общем виде это разложение выглядит так:
Я использовал новые буквы для обозначения элементов и алгебраических дополнений, чтобы не было путаницы с прежними обозначениями, которые мы использовали ранее при разложении про третьему столбцу. Так как \(b_{11}=0\), \(b_{21}=0\), \(b_{31}=-1\), то:
Так как
то получим:
Кстати, знак "минус" можно очень удачно внести в определитель, умножив на (-1) все элементы второй строки:
Вернёмся к нашему определителю \(\Delta\):
Мы вновь понизили порядок определителя, перейдя от определителя третьего порядка к определителю второго порядка. Теперь уже применим готовую формулу для вычисления определителей второго порядка:
Ответ получен, \(\Delta=-297\). Полное решение без пояснений и промежуточных обозначений вылядит так:
\(\Delta=-297\).