AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков. Один из методов вычисления определителей высших порядков – использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. \(A=\left( \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)\). Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен \(i\). Тогда определитель матрицы \(A_{n\times n}\) можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

\[ \begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation} \]
Что такое \(A_{ij}\) и \(a_{ij}\)?

\(A_{ij}\) обозначает алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\). Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему "Алгебраические дополнения и миноры". Запись \(a_{ij}\) обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему "Матрицы. Виды матриц. Основные термины".

Что обозначает знак \(\sum\)?

Допустим, мы хотим найти сумму \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\). Какой фразой можно охарактеризовать запись \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\)? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы \(\sum\) (это греческая буква "сигма").

Вместо \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\) мы можем использовать такую запись: \(\sum\limits_{i=1}^{5}i^2\). Буква \(i\) именуется индексом суммирования, а числа 1 (начальное значение \(i\)) и 5 (конечное значение \(i\)) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись \(\sum\limits_{i=1}^{5}i^2\) подробно. Если \(i=1\), то \(i^2=1^2\), поэтому первым слагаемым данной суммы будет число \(1^2\):

\[ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots \]

Следующее целое число после единицы – двойка, поэтому подставляя \(i=2\), получим: \(i^2=2^2\). Сумма теперь станет такой:

\[ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots \]

После двойки следующее число – тройка, поэтому подставляя \(i=3\) будем иметь: \(i^2=3^2\). И сумма примет вид:

\[ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots \]

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить \(i=4\), то \(i^2=4^2\), а если подставить \(i=5\), то \(i^2=5^2\). Значения \(i\) достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое \(5^2\) будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

\[ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. \]

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: \(\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55\).

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: \(\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)\). Индекс суммирования здесь – буква \(k\), нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

\[ \sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. \]

Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\[ \begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation} \]

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде. Для примера разложим его по элементам четвёртого столбца (элементы этого столбца выделены зелёным цветом):

\[\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \normgreen{a_{14}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \normgreen{a_{24}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \normgreen{a_{34}} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \normgreen{a_{44}} \\ \end{array} \right|\]
\[ \Delta =\normgreen{a_{14}}\cdot{A_{14}}+\normgreen{a_{24}}\cdot{A_{24}}+\normgreen{a_{34}}\cdot{A_{34}}+\normgreen{a_{44}}\cdot{A_{44}} \]

Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:

\[ \Delta =a_{31}\cdot{A_{31}}+a_{32}\cdot{A_{32}}+a_{33}\cdot{A_{33}}+a_{34}\cdot{A_{34}} \]

Задача №1

Условие

Вычислить определитель матрицы \(A=\left( \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)\), используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Решение

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка \(\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|\). Чтобы разложить его по первой строке нужно использова формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:

\[ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. \]

Для нашей матрицы \(a_{11}=5\), \(a_{12}=-4\), \(a_{13}=3\). Для вычисления алгебраических дополнений \(A_{11}\), \(A_{12}\), \(A_{13}\) станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:

\[ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned} \]
Как мы нашли алгебраические дополнения?

Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему "Алгебраические дополнения и миноры". Краткая суть выражена на рисунке ниже:

Алгебраическое дополнение

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

\[ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. \]

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, – до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, – просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. \(a_{32}=0\). Это говорит о том, что слагаемое \(a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0\). Используя формулу (2) для разложения по второму столбцу, получим:

\[ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. \]

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ:

\(\Delta A=134\).

Задача №2

Условие

Вычислить определитель матрицы \(A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)\), используя разложение по выбранной строке или столбцу.

Решение

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу (1), запишем разложение определителя по третьей строке:

\[ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}. \]

Так как \(a_{31}=-5\), \(a_{32}=0\), \(a_{33}=-4\), \(a_{34}=0\), то записанная выше формула станет такой:

\[ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}. \]

Обратимся к алгебраическим дополнениям \(A_{31}\) и \(A_{33}\). Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).

\[ \begin{aligned} & A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\ & A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34. \end{aligned} \]

Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:

\[ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. \]

В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:

\[ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. \]
Ответ:

\(\Delta A=86\).