Задача №1
Вычислить определитель матрицы \(A=\left( \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)\), используя разложение по первой строке и второму столбцу.
Нам нужно вычислить определитель третьего порядка \(\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|\). Чтобы разложить его по первой строке нужно использова формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:
Для нашей матрицы \(a_{11}=5\), \(a_{12}=-4\), \(a_{13}=3\). Для вычисления алгебраических дополнений \(A_{11}\), \(A_{12}\), \(A_{13}\) станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:
Как мы нашли алгебраические дополнения?
Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему "Алгебраические дополнения и миноры". Краткая суть выражена на рисунке ниже:
Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:
Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.
Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, – до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.
Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, – просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. \(a_{32}=0\). Это говорит о том, что слагаемое \(a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0\). Используя формулу (2) для разложения по второму столбцу, получим:
Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.
\(\Delta A=134\).