Решение
Заданная нам матрица не имеет нулевых строк или столбцов, поэтому можем приступать к нахождению \(A^{-1}\). Поставленную задачу решим двумя способами: как преобразованиями метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. Для начала запишем матрицу \((A|E)\), которая в нашем случае будет иметь такой вид:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\]
Наша цель: привести матрицу \((A|E)\) к виду \(\left(E|A^{-1}\right)\).
Метод Гаусса
Прямой ход метода Гаусса
Первый шаг
На первом шаге прямого хода мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов первого столбца, расположенных под первой строкой. Однако для тех преобразований, которые мы станем делать для обнуления элементов, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Почему это так, станет ясно из дальнейших действий. Чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен -1, поменяем местами первую строку с одной из нижележащих строк – с второй строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
\boldred{-1} & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
\normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
\normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\]
Теперь ведущий элемент первой строки стал равен -1 (я выделил этот элемент красным цветом). Приступим к обнулению ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой (они выделены синим цветом). Для этого над строками матрицы нужно выполнить такие действия:
\[
\begin{aligned}
& r_2-\frac{\normblue{-5}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_2-5r_1;\\
& r_3-\frac{\normblue{9}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_3+9r_1.
\end{aligned}
\]
Запись \(r_2-5r_1\) означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:
\[
r_2-5r_1
=(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-5\cdot(-1;\;4;\;-5;\;0;\;1;\;0)=\\
=(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-(-5;\;20;\;-25;\;0;\;5;\;0)
=(0;\;3;\;1;\;1;\;-5;\;0)
\]
Действие \(r_3+9r_1\) выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\]
На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение. Кстати, теперь, я полагаю, ясно, зачем надо было менять местами строки. Если бы не смена мест строк, нам пришлось бы выполнять действия \(r_2-\frac{1}{5}\cdot{r_1}\) и \(r_3+\frac{9}{5}\cdot{r_1}\), что привело бы к появлению дробей. А легче, разумеется, работать с целыми числами, чем с дробями.
Второй шаг
На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\]
Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.
Пару слов насчёт действий со строками, которые мы выполняли на втором шаге. На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен -1. Здесь такая смена строк ничего не даст, так как доступна к обмену лишь третья строка, а у неё ведущий элемент тоже не равен ни 1, ни -1. В этом случае можно выполнить дополнительное преобразование со второй строкой: \(r_2+r_3\):
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+r_3 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 1\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\]
После этого текущий шаг прямого хода будет продолжен без дробей. Можно было сделать и такое действие: \(3r_3+4r_2\), тогда и необходимый элемент третьего столбца был бы обнулён, и дробей бы не появилось. Выполнять такие действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если работы с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов прямого хода, то, возможно, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. К слову, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку \(\left(\frac{1}{3};\;-\frac{4}{5};\;2;0\right)\) можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: \(\left(5;\;-12;\;30;0\right)\).
Обратный ход метода Гаусса
Первый шаг
На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен \(-\frac{2}{3}\). Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на \(-\frac{3}{2}\), а затем с помощью третьей строки обнулим ненулевые элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow\\
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Второй шаг
На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей, домножив вторую строку на \(\frac{1}{3}\), а затем с помощью второй строки обнулим ненулевой элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Третий шаг
Работаем с первой строкой. Сделаем диагональный элемент в первой строке (число -1) равным единице, домножив первую строку на -1:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:
\[
A^{-1}
=\left(\begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\\
1 & -1/2 & 1/2\\
-2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow}
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Теперь решим эту же задачу методом Гаусса-Жордана.
Метод Гаусса-Жордана
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем следовать стандартному алгоритму: домножить первую строку на \(-\frac{1}{5}\), чтобы первый элемент стал равен единице, а затем обнулить все иные ненулевые элементы первого столбца. Однако, как и при решении методом Гаусса, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Поэтому как и на первом шаге метода Гаусса, поменяем местами первую строку с второй строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
\normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
\normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\]
Теперь первый элемент первой строки стал равен -1. Чтобы этот элемент стал равен 1, домножим первую строку на -1, а потом обнулим все остальные ненулевые элементы первого столбца (они выделены в матрице выше синим цветом):
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\]
На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.
Второй шаг
На втором шаге мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому домножаем вторую строку на \(\frac{1}{3}\), чтобы второй элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы второго столбца.
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\]
Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.
Третий шаг
На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. Третий элемент этой строки (число -2/3) не равен нулю, поэтому домножаем третью строку на \(-\frac{3}{2}\), чтобы третий элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы третьего столбца.
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:
\[
A^{-1}
=\left(\begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\\
1 & -1/2 & 1/2\\
-2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]
Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)
\]