AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из темы "Матрицы. Виды матриц. Основные термины".

Содержание темы

Сложение и вычитание матриц.

Суммой \(A+B\) матриц \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) и \(B_{m\times n}=(b_{ij})\) называется матрица \(C_{m\times n}=(c_{ij})\), где \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) для всех \(i=\overline{1,m}\) и \(j=\overline{1,n}\).

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью \(A-B\) матриц \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) и \(B_{m\times n}=(b_{ij})\) называется матрица \(C_{m\times n}=(c_{ij})\), где \(c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\) для всех \(i=\overline{1,m}\) и \(j=\overline{1,n}\).

Пояснение к записи \(i=\overline{1,m}\)

Запись "\(i=\overline{1,m}\)" означает, что параметр \(i\) изменяется от 1 до m. Например, запись \(i=\overline{1,5}\) говорит о том, что параметр \(i\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Задача №1

Условие

Заданы три матрицы:

\[ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). \]

Можно ли найти матрицу \(A+F\)? Найти матрицы \(C\) и \(D\), если \(C=A+B\) и \(D=A-B\).

Решение

Матрица \(A\) содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы \(A\) равен \(2\times 3\)), а матрица \(F\) содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы \(A\) и \(F\) не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция \(A+F\) для данных матриц не определена.

Размеры матриц \(A\) и \(B\) совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

\[ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) \]

Найдем матрицу \(D=A-B\):

\[ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) \]
Ответ:

\(C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)\), \(D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)\).

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) на число \(\alpha\) называется матрица \(B_{m\times n}=(b_{ij})\), где \(b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}\) для всех \(i=\overline{1,m}\) и \(j=\overline{1,n}\).

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Задача №2

Условие

Задана матрица: \(A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)\). Найти матрицы \(3\cdot A\), \(-5\cdot A\) и \(-A\).

Решение
\[ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). \]

Запись \(-A\) есть сокращенная запись для \(-1\cdot A\). Т.е., чтобы найти \(-A\) нужно все элементы матрицы \(A\) умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы \(A\) изменится на противоположный:

\[ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) \]
Ответ:

\(3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right)\); \(-5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right)\); \(-A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)\).

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) на матрицу \(B_{n\times k}=(b_{ij})\) называется матрица \(C_{m\times k}=(c_{ij})\), для которой каждый элемент \(c_{ij}\) равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы \(A\) на элементы j-го столбца матрицы \(B\):

\[c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.\]

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу \(A\) на матрицу \(B\), то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы \(A\) равно количеству строк матрицы \(B\) (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу \(A_{5\times 4}\) (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу \(F_{9\times 8}\) (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы \(A\) не равно количеству строк матрицы \(F\), т.е. \(4\neq 9\). А вот умножить матрицу \(A_{5\times 4}\) на матрицу \(B_{4\times 9}\) можно, так как количество столбцов матрицы \(A\) равно количеству строк матрицы \(B\). При этом результатом умножения матриц \(A_{5\times 4}\) и \(B_{4\times 9}\) будет матрица \(C_{5\times 9}\), содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Размер матрицы, полученной в результате произведения

Задача №3

Условие

Заданы матрицы: \( A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\) и \( B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)\). Найти матрицу \(C=A\cdot B\).

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы \(C\). Так как матрица \(A\) имеет размер \(3\times 4\), а матрица \(B\) имеет размер \(4\times 2\), то размер матрицы \(C\) таков: \(3\times 2\):

Размер матрицы, полученной в результате произведения

Итак, в результате произведения матриц \(A\) и \(B\) мы должны получить матрицу \(C\), состоящую из трёх строк и двух столбцов: \( C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)\). Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины", в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы \(C\).

Начнем с элемента \(c_{11}\). Чтобы получить элемент \(c_{11}\) нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы \(A\) и первого столбца матрицы \(B\):

Первый элемент

Чтобы найти сам элемент \(c_{11}\) нужно перемножить элементы первой строки матрицы \(A\) на соответствующие элементы первого столбца матрицы \(B\), т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

\[ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. \]

Продолжим решение и найдем \(c_{12}\). Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы \(A\) и второго столбца матрицы \(B\):

Второй элемент

Аналогично предыдущему, имеем:

\[ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. \]

Все элементы первой строки матрицы \(C\) найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент \(c_{21}\). Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы \(A\) и первого столбца матрицы \(B\):

Третий элемент
\[ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. \]

Следующий элемент \(c_{22}\) находим, перемножая элементы второй строки матрицы \(A\) на соответствующие элементы второго столбца матрицы \(B\):

\[ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. \]

Чтобы найти \(c_{31}\) перемножим элементы третьей строки матрицы \(A\) на элементы первого столбца матрицы \(B\):

\[ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. \]

И, наконец, для нахождения элемента \(c_{32}\) придется перемножить элементы третьей строки матрицы \(A\) на соответствующие элементы второго столбца матрицы \(B\):

\[ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. \]

Все элементы матрицы \(C\) найдены, осталось лишь записать, что \(C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)\). Или, если уж писать полностью:

\[ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). \]
Ответ:

\(C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)\).

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

\[ \left(\begin{array} {cc} 6 & 3 \\ -17 & -2 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 4 & 9 \\ -6 & 90 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6\cdot{4}+3\cdot(-6) & 6\cdot{9}+3\cdot{90} \\ -17\cdot{4}+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot{9}+(-2)\cdot{90} \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6 & 324 \\ -56 & -333 \end{array} \right) \]

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае \(A\cdot B\neq B\cdot A\). Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство \(A\cdot B=B\cdot A\). Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства \(3E-F=Y\) на матрицу \(A\) справа" означает, что требуется получить такое равенство: \((3E-F)\cdot A=Y\cdot A\).

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) называется матрица \(A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})\), для элементов которой \(a_{ij}^{T}=a_{ji}\).

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу \(A^T\), нужно в исходной матрице \(A\) заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице \(A_{3\times 5}\):

Транспонированная матрица

Соответственно, если исходная матрица имела размер \(3\times 5\), то транспонированная матрица имеет размер \(5\times 3\).

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что \(\alpha\), \(\beta\) – некоторые числа, а \(A\), \(B\), \(C\) – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

  1. \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения)
  2. \(A+(B+C)=(A+B)+C\) (ассоциативность сложения)
  3. \((\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A\) (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
  4. \(\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B\) (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
  5. \(A(BC)=(AB)C\)
  6. \((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\)
  7. \(A\cdot (B+C)=AB+AC\), \((B+C)\cdot A=BA+CA\).
  8. \(A\cdot E=A\), \(E\cdot A=A\), где \(E\) – единичная матрица соответствующего порядка.
  9. \(A\cdot O=O\), \(O\cdot A=O\), где \(O\) – нулевая матрица соответствующего размера.
  10. \(\left(A^T \right)^T=A\)
  11. \((A+B)^T=A^T+B^T\)
  12. \((AB)^T=B^T\cdot A^T\)
  13. \(\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T\)

В следующей теме будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.