Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.
В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины". Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
- Минор \(M_{ij}\) элемента \(a_{ij}\).
- Алгебраическое дополнение \(A_{ij}\) элемента \(a_{ij}\).
- Минор k-го порядка матрицы \(A_{m\times n}\). Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.
- Минор k-го порядка матрицы \(A_{n\times n}\). Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.
Минор \(M_{ij}\) элемента \(a_{ij}\)
Пусть задана квадратная матрица \(A_{n\times n}\) (т.е. квадратная матрица n-го порядка).
Минором \(M_{ij}\) элемента \(a_{ij}\) матрицы \(A_{n\times n}\) именуют определитель матрицы, полученной из матрицы \(A\) вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент \(a_{ij}\)).
Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: \(A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)\). Найдём минор элемента \(a_{32}\), т.е. найдём \(M_{32}\). Сперва запишем минор \(M_{32}\), а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить \(M_{32}\), вычеркнем из матрицы \(A\) третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент \(a_{32}\)). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор \(M_{32}\):
Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Итак, минор элемента \(a_{32}\) равен 579, т.е. \(M_{32}=579\).
Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента \(a_{ij}\) нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента \(a_{ij}\). Например, найдём минор элемента \(a_{12}\) определителя \(\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|\). Чтобы записать требуемый минор \(M_{12}\) нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:
Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Итак, минор элемента \(a_{12}\) равен 83, т.е. \(M_{12}=83\).
Алгебраическое дополнение \(A_{ij}\) элемента \(a_{ij}\)
Пусть задана квадратная матрица \(A_{n\times n}\) (т.е. квадратная матрица n-го порядка).
Алгебраическое дополнением \(A_{ij}\) элемента \(a_{ij}\) матрицы \(A_{n\times n}\) находится по следующей формуле:
где \(M_{ij}\) – минор элемента \(a_{ij}\).
Найдем алгебраическое дополнение элемента \(a_{32}\) матрицы \(A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)\), т.е. найдём \(A_{32}\). Ранее мы уже находили минор \(M_{32}=579\), поэтому используем полученный результат:
Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем \(A_{12}\), если \(A=\left( \begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)\). Согласно формуле \(A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}\). Однако чтобы получить \(M_{12}\) достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы \(A\), так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения \(A_{12}\):
Минор k-го порядка матрицы \(A_{m\times n}\)
Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица \(A_{m\times n}\), т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.
Минором k-го порядка матрицы \(A_{m\times n}\) называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы \(A\) (при этом предполагается, что \(k≤ m\) и \(k≤ n\)).
Например, рассмотрим такую матрицу:
Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:
Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.
Минор k-го порядка матрицы \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы \(A\).
Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: \(a_{11}\), \(a_{22}\), \(a_{33}\) и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы \(A\) такими элементами будут \(a_{11}=-1\), \(a_{22}=7\), \(a_{33}=18\), \(a_{44}=8\). На рисунке они выделены зелёным цветом:
Например, если в матрице \(A\) мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы \(A\) (элементы \(a_{11}=-1\) и \(a_{33}=18\) матрицы \(A\)). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:
Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.
Пусть некий минор \(M\) k-го порядка матрицы \(A_{m\times n}\) не равен нулю, т.е. \(M\neq 0\). При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор \(M\) называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.
Для примера рассмотрим такую матрицу:
Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице \(A\) фиолетовым цветом):
Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Итак, \(M=11\neq 0\). Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица \(A\) имеет всего 4 строки.
Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы \(A\), на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы \(A\) – базисные столбцы.
Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.
Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.
Пусть некий минор k-го порядка \(M\) матрицы \(A_{m\times n}\) расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора \(M\).
Для примера обратимся к такой матрице:
Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:
Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора \(M\), ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор \(M'\) (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора \(M\) на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору \(M\) – синим:
Минор \(M'\) является окаймляющим минором для минора \(M\). Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора \(M\), строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор \(M''\) (минор третьего порядка):
Минор \(M''\) также является окаймляющим минором для минора \(M\).
Минор k-го порядка матрицы \(A_{n\times n}\). Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.
Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.
Пусть задан некий минор \(M\) k-го порядка матрицы \(A_{n\times n}\). Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы \(A\) после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор \(M\), называется минором, дополнительным к минору \(M\).
Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:
Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора \(M\) второго порядка. Эти элементы выделены в матрице \(A\) зелёным цветом:
Теперь уберём из матрицы \(A\) строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора \(M\) (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор \(M'\):
Минор \(M'\), порядок которого равен \(5-2=3\), является минором, дополнительным к минору \(M\).
Алгебраическим дополнением к минору \(M\) квадратной матрицы \(A_{n\times n}\) называется выражение \((-1)^{\alpha}\cdot M'\), где \(\alpha\) – сумма номеров строк и столбцов матрицы \(A\), на которых расположены элементы минора \(M\), а \(M'\) – минор, дополнительный к минору \(M\).
Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору \(M\)" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора \(M\)".
Для примера рассмотрим матрицу \(A\), для которой мы находили минор второго порядка \( M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| \) и дополнительный к нему минор третьего порядка: \(M'=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|\). Обозначим алгебраическое дополнение минора \(M\) как \(M^*\). Тогда согласно определению:
Параметр \(\alpha\) равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор \(M\). Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, \(\alpha=1+3+2+5=11\). Итак:
В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение \(M^*\):