Задача №3
Решить однородную СЛАУ
Указать ФСР. Общее решение записать с помощью ФСР.
Точто так же, как и в задачах предыдущей части, применим метод Гаусса:
Нулевую третью строку опустим вниз, а потом продолжим решение методом Гаусса:
Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой, но меньше количества переменных (\(3 \lt 6\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).
Так как ранги обеих матриц равны \(r=3\), то надо выбрать 3 базисных переменных. Вновь составим "ступеньки":
На "ступеньках" стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные \(x_1\), \(x_2\), \(x_5\).
СЛАУ содержит \(n=6\) неизвестных, поэтому количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно \(n-r=3\). Свободными переменными, соответственно, будут \(x_3\), \(x_4\), \(x_6\). Столбцы №3, №4 и №6, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки. Нулевые строки уберём и продолжим обратный ход метода Гаусса. Матрица до черты должна стать единичной.
Из последней матрицы получим общее решение: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4+\frac{99}{5}x_6;\\ & x_2=\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4-\frac{3}{5}x_6;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=-4x_6;\\ & x_6\in R. \end{aligned}\right.\).
Перейдем к нахождению ФСР данной СЛАУ. Для этого запишем таблицу, в первой строке которой перечислим переменные. Так как у нас три свободных переменных, то под свободными переменными запишем матрицу третьего порядка.
Теперь осталось заполнить пустые ячейки так же, как и в задаче №1 этой темы:
Из второй, третьей и четвёртой строк таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: \(X=\left(\begin{array} {c} x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \\x_5 \\x_6 \end{array}\right)\). В том же порядке, в котором в матрице \(X\) перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:
Совокупность \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right)\) и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: \(X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+C_3\cdot \varphi_3\). Или в развёрнутом виде:
Здесь \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) – произвольные постоянные.
- Фундаментальная система решений: \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right)\).
- Общее решение:
\[X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)+C_3\cdot \left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right),\]где \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) – произвольные константы.