AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Вторая часть.

В первой части этой темы были разобраны две задачи. В этой части мы продолжим решение однородных СЛАУ.

Задача №3

Условие

Решить однородную СЛАУ

\[\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5-5x_6=0;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5-3x_6=0;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5-x_6=0;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5+2x_6=0;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5+20x_6=0;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5-9x_6. \end{aligned}\right.\]

Указать ФСР. Общее решение записать с помощью ФСР.

Решение

Точто так же, как и в задачах предыдущей части, применим метод Гаусса:

\[ \begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 & 0\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3 & 0\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1 & 0\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2 & 0\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20 & 0\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\r_2-2r_1\\ r_3-3r_1\\r_4-2r_1\\r_5+2r_1\\r_6+4r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 & 0\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7 & 0\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12 & 0\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10 & 0\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\r_3-2r_2\\1/3\cdot{r_3}\\r_5-2r_2\\ r_6+3r_2 \end{array} \rightarrow \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 & 0\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 & 0\end{array}\right). \end{aligned} \]

Нулевую третью строку опустим вниз, а потом продолжим решение методом Гаусса:

\[ \left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 & 0\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\r_4+r_3\\r_5+2r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 & 0\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой, но меньше количества переменных (\(3 \lt 6\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Так как ранги обеих матриц равны \(r=3\), то надо выбрать 3 базисных переменных. Вновь составим "ступеньки":

Выбор переменных

На "ступеньках" стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные \(x_1\), \(x_2\), \(x_5\).

СЛАУ содержит \(n=6\) неизвестных, поэтому количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно \(n-r=3\). Свободными переменными, соответственно, будут \(x_3\), \(x_4\), \(x_6\). Столбцы №3, №4 и №6, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки. Нулевые строки уберём и продолжим обратный ход метода Гаусса. Матрица до черты должна стать единичной.

\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 4 & -3 & 0 & 5\\ 0 & 5 & 1 & 1 & -2 & -7\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_3 \\ r_2-r_3\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & -3 & 0& 21\\ 0 & 5 & 0 & 1 & -2& -3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0& -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\1/5\cdot{r_2}\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & -3 & 0 & 21\\ 0 & 1 & 0 & 1/5 & -2/5& -3/5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+2r_2 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -13/5 & -4/5& 99/5\\ 0 & 1 & 0 & 1/5 & -2/5& -3/5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0& -4\end{array}\right). \]

Из последней матрицы получим общее решение: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4+\frac{99}{5}x_6;\\ & x_2=\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4-\frac{3}{5}x_6;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=-4x_6;\\ & x_6\in R. \end{aligned}\right.\).

Перейдем к нахождению ФСР данной СЛАУ. Для этого запишем таблицу, в первой строке которой перечислим переменные. Так как у нас три свободных переменных, то под свободными переменными запишем матрицу третьего порядка.

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 \\ \hline & & 1 & 0 & & 0 \\ \hline & & 0 & 1 & & 0 \\ \hline & & 0 & 0 & & 1 \end{array} \]

Теперь осталось заполнить пустые ячейки так же, как и в задаче №1 этой темы:

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 \\ \hline -\frac{13}{5} & \frac{1}{5} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \frac{99}{5} & -\frac{3}{5} & 0 & 0 & -4 & 1 \end{array} \]

Из второй, третьей и четвёртой строк таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: \(X=\left(\begin{array} {c} x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \\x_5 \\x_6 \end{array}\right)\). В том же порядке, в котором в матрице \(X\) перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

\[ \varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right);\; \varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right);\; \varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right). \]

Совокупность \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right)\) и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: \(X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+C_3\cdot \varphi_3\). Или в развёрнутом виде:

\[ X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)+C_3\cdot \left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right) \]

Здесь \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) – произвольные постоянные.

Ответ:
  • Фундаментальная система решений: \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right)\).
  • Общее решение:
    \[X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)+C_3\cdot \left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right),\]
    где \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) – произвольные константы.

Задача №4

Условие

Решить СЛАУ \( \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=0;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=0;\\ & x_1+x_3=0. \end{aligned} \right.\).

Решение

В принципе, эту систему можно решить так же, как и предыдущие. Однако для разнообразия пойдём несколько иным путём. Вычислим определитель матрицы системы:

\[\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.\]

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

О чём говорит тот факт, что определитель матрицы системы не равен нулю? Данный определитель есть минор третьего порядка матрицы системы. Так как минор третьего порядка не равен нулю, а миноры четвёртого порядка составить невозможно, то ранг матрицы системы равен \(r=3\). Для однородной системы это означает, что и ранг расширенной матрицы системы равен \(r\). При этом так как \(r=n\) (где \(n\) – количество переменных), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли система имеет единственное решение. Если однородная СЛАУ имеет единственное решение, то это – нулевое решение, т.е. \(x_1=x_2=x_3=x_4=0\).

В принципе, если не вспоминать о теореме Кронекера, можно банально решить систему методом Крамера и непосредственно убедиться, что система имеет только нулевое решение. Тут нам пригодится тот факт, что если в определителе все элементы некоей строки (или столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

\[ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=0;\; \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 0 & -1\\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=0;\; \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|=0. \]
\[ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{0}{5}=0;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{0}{5}=0; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{0}{5}=0. \]

Вообще, для однородных СЛАУ несложно вывести простое правило: если определитель матрицы системы не равен нулю, то такая СЛАУ имеет только нулевое решение.

Ответ:

\(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_3=0\).

Часть №1
Часть №2