Пределы с иррациональностью

Ответить

Смайлики
:) :D :yes: ;) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen: :geek: :ugeek:
Ещё смайлики…

BBCode ВКЛЮЧЁН
[img] ВКЛЮЧЁН
[flash] ОТКЛЮЧЕН
[url] ВКЛЮЧЁН
Смайлики ВКЛЮЧЕНЫ

Обзор темы
   

Развернуть Обзор темы: Пределы с иррациональностью

Re: Пределы с иррациональностью

Алексей » 11 май 2020, 20:40

New-Man писал(а): 11 май 2020, 20:17 а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
Эквивалентности применяются в пределе от отношения функций \(\frac{f(x)}{g(x)}\). У вас под пределом имеется разность функций, а не их отношение.

Я дал свой совет - ещё месяц назад. Не хотите следовать ему - не следуйте. Я вообще не понимаю, зачем целый месяц решать предел.

Re: Пределы с иррациональностью

New-Man » 11 май 2020, 20:17

а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?

Re: Пределы с иррациональностью

Алексей » 11 апр 2020, 22:33

На основании чего вы перешли к произведению пределов? Формула \(\lim(a\cdot{b})=\lim{a}\cdot\lim{b}\) верна лишь при условии существования конечных пределов \(\lim{a}\) и \(\lim{b}\). Что-то я не вижу доказательства, что пределы, на которые вы разбили исходный предел, существуют.

Насколько я могу судить по первой прикидке, вам нужно сделать два действия:
  1. Записать выражение под пределом в виде \(\frac{p(x)}{q(x)}\), где \(p(x)=x^3\cos{x}-x\).
  2. Рассмотреть две последовательности \(x_n=\frac{\pi}{2}-2\pi{n}\) и \(y_n=\frac{\pi}{3}-2\pi{n}\) и показать, что пределы выражений \(\frac{p(x_n)}{q(x_n)}\) и \(\frac{p(y_n)}{q(y_n)}\) различаются. Это будет означать, что исходный предел не существует.

Re: Пределы с иррациональностью

New-Man » 11 апр 2020, 12:41

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})=[\infty-\infty]= \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})(x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^{3}-\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\
=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}*\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^{4}+x^{3}cosx-2x^{4}+x}{2x+cosx}\)

дальше что делать?

Re: Пределы с иррациональностью

Алексей » 10 апр 2020, 16:55

У вас получится выражение такого вида

\(
x-\sqrt[3]{a}
=\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-\left(\sqrt[9]{a}\right)^3
\)

Тогда получится разность кубов. В принципе, это возможно, конечно, но смысла в том не вижу.

Re: Пределы с иррациональностью

New-Man » 10 апр 2020, 14:39

Благодарю за совет, а в пункте №2 можно сделать так: \(x\) представить как \(\sqrt[3]{x}^{3}\) и далее применить разность кубов или нельзя так?

Re: Пределы с иррациональностью

Алексей » 09 апр 2020, 19:28

В пункте №1 можно принять \(t=\sqrt[12]{\sin{x}}\), если учесть, что \(\cos^2{x}=1-\sin^2{x}\). В пункте №2, полагаю, поможет домножение на сопряжённое выражение, но тут надо пробовать. Пункт №3 есть решённый в решебнике Демидовича: №464.

Пределы с иррациональностью

New-Man » 08 апр 2020, 20:33

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с пределами:
1) \(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[4]{sinx}-\sqrt[3]{sinx}}{cos^{2}{x}}\)
2) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})\)
3) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }{x}^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\)
в первом вернее всего замену наверно надо сделать \(t = \sqrt[12]{sinx}\), а с косинусом что делать?
во втором и в третьем незнаю даже с чего начать

Вернуться к началу