Найти предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{2x+4}{2x+5})^{-4x+1}=\lim(1-\frac{1}{2x+5})^{-4x+1}=\lim(1+t)^{\frac{2}{t}+11}=[\lim(1+t)^\frac{1}{t}]^2\cdot\lim(1+t)^{11}=e^2\cdot1=e^2\)
\(-\frac{1}{2x+5}=t\)
Способ решения другой или можно этим способом решать? Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Замена переменной не нужна. Посмотрите пример №1 на этой странице.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x \to \infty }(\frac{ 2x+4 }{ 2x+5 } )^{-4x+1}=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{ 2x+4-2x-5}{ 2x+5 })^{-4x+1}= \lim_{x \to \infty }(1+\frac{ -1 }{ 2x+5 })^{-4x+1} =\\=\lim_{x \to \infty }((1-\frac{ 1 }{ 2x+5 })^{-2x+5})^{\frac{ 1 }{ -2x+5 } }({-4x+1})=\lim_{x \to \infty }((1-\frac{ 1 }{ 2x+5})^{-2x+5})^{\frac{-4x+1 }{ -2x+5 } }=e^2\)
Решение правильное? Ответ правильный? Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Вроде да, но скобок у вас не хватает. Знак "минус" относится ко всему выражению \(2x+5\), а не только к слагаемому \(2x\).

\(
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+4}{2x+5}\right)^{-4x+1}
=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+5-1}{2x+5}\right)^{-4x+1}
=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{-(2x+5)}\right)^{-4x+1}=\\
=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{-(2x+5)}\right)^{-(2x+5)\cdot\frac{-4x+1}{-(2x+5)}}
=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{4x-1}{2x+5}}
=e^2.

\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить