Показать что последовательность б.м. по определению

Первый и второй замечательный пределы. Вычисление пределов как с использованием правила Лопиталя, так и без оного. Исследование функций на непрерывность.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Показать что последовательность б.м. по определению

Сообщение 0201400 »

Показать что последовательность б.м. по определению
\(x_n = \frac{n^2 \sin n}{4^n}\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Показать что последовательность б.м. по определению

Сообщение Добрый Волк »

Это сравнительно несложно. "Б.м.", т.е. "бесконечно малая", означает, то \(\lim_{n\to\infty} x_n=0\). Т.е., нужно показать, что для любого \(\varepsilon>0\) существует номер \(n_{\varepsilon}\) такой, что для всех \(n>n_{\varepsilon}\) выполнено неравенство \(|x_n|<\varepsilon\). Вот к последнему неравенству и стоит обратиться. Так как \(|\sin x|\leqslant 1\), то

\(|x_n|=\left|\frac{n^2\sin n}{4^n}\right|\leqslant \left|\frac{n^2}{4^n}\right|=\frac{n^2}{4^n}\)

Покажем, что \(n^3<4^n\), т.е. \(4^n-n^3>0\) с использованием метода математической индукции. Проверим неравенство \(4^n-n^3>0\) при \(n=1\): \(4^1-1^3=3>0\). Неравенство истинно. Пусть при некотором значении \(n=k\) данное неравенство истинно, т.е. \(4^k-k^3>0\). Проверим, истинно ли данное неравенство при \(n=k+1\), т.е. верно ли, что \(4^{k+1}-(k+1)^3>0\).


\(4^{k+1}-(k+1)^3=4\cdot 4^k-(k^3+3k^2+3k+1)=\\=4^k-k^3+3\cdot 4^k-(3k^2+3k+1)>3\cdot 4^k-(3k^2+3k+1)=4^k-3k^2+4^k-3k+4^k-1\)

Согласно предположению, \(4^k>k^3\). Так как при \(k\geqslant 3\) (случай \(k=2\) можно проверить непосредственной подстановкой в исходное неравенство) имеем \(k^3\geqslant 3k^2\), то \(4^k>k^3\geqslant 3k^2\), т.е. \(4^k-3k^2>0\). Аналогично доказываем \(4^k-3k>0\). Итак:

\(3\cdot 4^k-(3k^2+3k+1)=4^k-3k^2+4^k-3k+4^k-1>0\)

Вывод: неравенство \(4^{k+1}-(k+1)^3>0\) доказано. Тем самым доказано неравенство \(4^n-n^3>0\) при всех \(n\in N\). Так как \(4^n>n^3\), то:

\(\frac{n^2}{4^n}<\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}<\varepsilon\)

Из условия \(\frac{1}{n}<\varepsilon\) имеем: \(n>\frac{1}{\varepsilon}\). В качестве номера \(n_{\varepsilon}\) можно принять целую часть выражения \(\frac{1}{\varepsilon}\) с прибавленной единицей: \(n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1\).

Так как для любого \(\varepsilon>0\) существует номер \(n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1\) такой, что для всех \(n>n_{\varepsilon}\) выполнено неравенство \(|x_n|<\varepsilon\), то заданная последовательность - бесконечно малая.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Пределы. Исследование функций на непрерывность.»