замечательные пределы

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Ксения

замечательные пределы

Сообщение Ксения »

Доброй ночи, подскажите, пожалуйста, запуталась в двух пределах. В первом lim х стремится к 0 (1-cosx)/(xsinx) вижу, что первый замечательный предел, но смущает 1-cosx потому что не знаю как его правильно преобразовать чтобы выйти к одному из следствий. И во втором lim х стремиться к бесконечности (2х-4)(ln(2x+2)-ln2х). Помогите, пожалуйста.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: замечательные пределы

Сообщение Алексей »

В первом пределе используйте формулу \(1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}\). Во втором пределе выполняется такое преобразование:

\((2x-4)\cdot\left(\ln(2x+2)-\ln{2x}\right)=(2x-4)\cdot\ln\frac{2x+2}{2x}=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x-4}\)

Посмотрите для образца пример №4 на этой странице.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Гость

Re: замечательные пределы

Сообщение Гость »

Извините меня, пожалуйста, за мою наглость, но не могли бы Вы проверить решение этих двух пределов?

\(\lim_{x\to0} \frac {1-cosx}{xsinx}= | \frac{0}{0} | = \lim_{x \to 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{xsinx }= \left | \begin{matrix} t=0\\t \to 0 \ \end{matrix} \right |= 2\lim_{t \to 0}\frac{sin^{2}t}{tsint}= 2\lim_{t \to 0 }\frac{sint}{t}= 2*1= 2\)


\(\lim_{x \to \infty}\left ( 2x-4 \right )*\left ( ln\left ( 2x+2 \right )-ln2x \right )= \lim_{x \to \infty}\left ( 2x-4 \right )* ln\frac{2x+2}{2x}=\\= \lim_{x \to\infty }ln\left ( \left ( \frac{x+1}{x} \right )^{2x} \right ) = \lim_{x \to\infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2x-4}= e\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: замечательные пределы

Сообщение Алексей »

Посмотрел, много ошибок. Ответ неверный.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Гость

Re: замечательные пределы

Сообщение Гость »

Ещё раз извините, пожалуйста, но, кажется, я нашла ошибки которые допустила в прошлый раз.

\(\lim_{x \to \infty } \left ( 2x-4 \right )*\left ( \ln\left ( 2x+2 \right )-\ln{2x} \right )= \lim_{x \to \infty}\left ( 2x-4 \right )* \ln \left ( \frac{2x+2}{2x} \right ) =\\
= \lim_{x \to\infty } \ln\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2x-4}= \lim_{x \to \infty } \left ( \left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x} \right )^{\frac{1}{x}* \left ( 2x-4 \right )}= e^{\lim_{x \to \infty}\frac{2x-4}{x}}= e^{-2}\)


Проверьте, пожалуйста. :girl_angel:

\(\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x\sin{x}}= \left [ \frac{0}{0} \right ]= \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{x\sin{x}}= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0 }\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}}= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}= \frac{1}{2}*1= \frac{1}{2}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: замечательные пределы

Сообщение Алексей »

В первом пределе куда-то делся логарифм в конце решения, проверьте ещё раз внимательнее. Во втором пределе с помощью какой магии выражение \(x\sin{x}\) в знаменателе внезапно стало \(\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Гость

Re: замечательные пределы

Сообщение Гость »

видимо сделала то, что нельзя было, спасибо, ещё раз извините....
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: замечательные пределы

Сообщение Алексей »

Да не за что вам извиняться :)

Логарифм просто верните на место до конца решения.

А во втором примере в знаменателе учтите, что \(\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить