Найти предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tg{5x}}{\tg{3x}}\)
\(\tg\frac{5\pi}{2}\) после подстановки получается \(\frac{\infty}{\infty}\)
Второй шаг найти производную от \(\tg\frac{5\pi}{2}\)? Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Нет. Вам нужно найти производные числителя и знаменателя, т.е. вот так:

\(
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\tg{5x}}{\tg{3x}}
=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|
=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\tg{5x}\right)'}{\left(\tg{3x}\right)'}=\ldots

\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\tg{5x}}{\tg{3x}}= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{(\tg{5x})'}{(\tg{3x})'}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{5}{\cos^2 5x}}{\frac{3}{\cos^2 3x}}= \frac{5}{3}\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{{\cos^2 3x}}{{\cos^2 5x}}= \\=\frac{5}{3}\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\frac{{\cos 3x}}{{\cos 5x}})^{2}= \frac{5}{3}(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\frac{{(\cos 3x)'}}{{(\cos 5x)'}})^{2}= \frac{5}{3}(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{{-3\sin 3x}}{{-5\sin 5x}})^{2}= \frac{5}{3}\cdot(-\frac{3}{5})^{2} =\frac{5}{3}\cdot\frac{9}{25}=\frac{3}{5}\)

Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Вы использовали такое преобразование: \(\lim_{x\to{x_0}}(f(x))^2=\left(\lim_{x\to{x_0}}f(x)\right)^2\). Оно верно лишь в том случае, если функция \(f(x)\) имеет конечный предел. Т.е. сначала нужно доказать, что \(\lim_{x\to{x_0}}f(x)\) равен некоему конечному числу, а уж затем использовать формулу.
В вашем случае это означает доказательство того, что предел \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{3x}}{\cos{5x}}\) равен некоему числу, а уж потом возводить в квадрат. В принципе, такой путь возможен, - можно применить правило Лопиталя и показать, что \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{3x}}{\cos{5x}}=-\frac{3}{5}\), а затем, возведя в квадрат и домножив на \(\frac{5}{3}\), получить ваш ответ.

Однако мне представляется более наглядным вариант с применением правила Лопиталя к исходному пределу, с квадратами косинусов:

\(
\frac{5}{3}\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{3x}}{\cos^2{5x}}
=\frac{5}{3}\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\cos^2{3x}\right)'}{\left(\cos^2{5x}\right)'}
=\frac{5}{3}\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-6\cos{3x}\sin{3x}}{-10\cos{5x}\sin{5x}}
=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{6x}}{\sin{10x}}
\)


Применяя ещё раз правило Лопиталя и получим искомый ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить