Страница 1 из 1

Предел

Добавлено: 26 апр 2020, 19:58
deadbox
Всем доброго времени суток! Прошу помочь решить предел \(\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)*ctg((x^2-1)/2)\)
(1-x)*ctg((x^2-1)/2).

Re: Предел

Добавлено: 26 апр 2020, 22:19
Алексей
У вас требуется решение с использованием правила Лопиталя или без него?

Re: Предел

Добавлено: 27 апр 2020, 05:14
deadbox
Да, без него! Я понимаю, что ctg надо раскладывать. Но дальше ничего не получается. Всё сводится к неопределённости 0/0

Re: Предел

Добавлено: 27 апр 2020, 08:37
Алексей
Я бы советовал сделать замену переменной, чтобы было немного визуально проще с преобразованиями:

\(
\lim_{x\to{1}}\left((1-x)\cdot\ctg\frac{x^2-1}{2}\right)
=\left[
\begin{aligned}
& t=x-1;\\
& t\to{0}.\\
& x^2-1=(x-1)(x+1)=t(t+2)
\end{aligned}
\right]=\\

\lim_{t\to{0}}\left(-t\cdot\ctg\frac{t(t+2)}{2}\right)
=-\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\tg\frac{t(t+2)}{2}}
\)

Далее подгоняйте под следствие из первого замечательного предела \(\lim_{z\to{0}}\frac{\tg{z}}{z}=1\). В знаменателе разделите и домножьте на выражение \(\frac{t(t+2)}{2}\). Или же используйте эквивалентности, т.е. \(\tg\frac{t(t+2)}{2}\sim\frac{t(t+2)}{2}\).

Re: Предел

Добавлено: 27 апр 2020, 12:08
deadbox
То есть, заменяя tgx ~ x мы получим \(-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{t(t+2)}{2}}=-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2t}{t(t+2)}=-\frac{2}{0+2}=-1\)
Ответ: -1.
Всё правильно получается?

Re: Предел

Добавлено: 27 апр 2020, 12:44
Алексей
deadbox писал(а): 27 апр 2020, 12:08 То есть, заменяя tgx ~ x мы получим \(-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{t(t+2)}{2}}=-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2t}{t(t+2)}=-\frac{2}{0+2}=-1\)
Ответ: -1.
Всё правильно получается?
Вроде так, но перед последним действием нужно сократить на \(t\), получив \(-\lim_{t\to{0}}\frac{2}{t+2}\).

Re: Предел

Добавлено: 27 апр 2020, 14:43
deadbox
Да да, именно так. Я просто опустил этот шаг, дабы не писать лишнего))) Большое спасибо!