Пределы №3

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №3

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}\frac{1-sin(\frac{t+\pi }{2})}{-t}\) ? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №3

Сообщение Алексей »

Ок. Теперь нужно с синусом разобраться. Дело в том, что дробь \(\frac{t+\pi}{2}=\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\), поэтому можно использовать таблицу приведения тригонометрических функций, которая находится в конце документа по ссылке.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №3

Сообщение Оля »

\(sin (\frac{t+\pi }{2})= cos \frac{\pi }{2}\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №3

Сообщение Алексей »

Оля писал(а):\(sin (\frac{t+\pi }{2})= cos \frac{\pi }{2}\) ?
Наверное, вы имели в виду \(\cos \frac{t }{2}\)? :) Вот и заменяйте в пределе ваш синус, а потом пойдем далее.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №3

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}\frac{1-cos\frac{t}{2}}{-t}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №3

Сообщение Алексей »

Точно. Правда, появился один нюанс: в первом замечательном пределе и в эквивалентности, из него вытекающей, используется синус. Но не косинус. Т.е., надо от косинуса перейти к синусу. Формула вот: \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\). Попробуйте ее использовать для числителя.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №3

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}\frac{1-sin^{2}\frac{\frac{t}{2}}{2}}{-t}\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №3

Сообщение Алексей »

Почти... Если мы подставим в формулу \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\) значение \(\alpha=\frac{t}{2}\), то получим:

\(\sin^2\frac{\frac{t}{2}}{2}=\frac{1-\cos\frac{t}{2}}{2}\)


\(2\sin^2\frac{t}{4}=1-\cos\frac{t}{2}\)

Т.е., именно \(2\sin^2\frac{t}{4}\) пойдет в числитель вместо \(1-\cos\frac{t}{2}\). Саму формулу \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\) советую запомнить, она применяется, в частности, при интегрировании тригонометрических функций.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №3

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}\frac{2sin^{2}\frac{t}{4}}{-t}\)
так получается?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №3

Сообщение Алексей »

Истинно так :yes: Теперь будем применять эквивалентность \(\sin\alpha\sim\alpha\) (при \(\alpha\to 0\)), которая выводится из первого замечательного предела. Так как при \(t\to 0\) имеем \(\frac{t}{4}\to 0\), то \(\sin\frac{t}{4}\sim\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить