Найти производную

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Найти производную

Сообщение Виктория24 »

Найти производную dy/dx
(x^2)*y=arcsin y

не знаю как решать такие производные. вот так пыталась преобразовать:
y=arcsiny*(x^2) или x= sqrt((arcsin y)/y)
не понимаю как дальше решать :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную

Сообщение Алексей »

Дело в том, что вы пытались выразить \(y\) через \(x\), т.е. хотели представить функцию в явном виде. А в данном случае лучше идти иным путем. Для начала нам понадобится таблица производных. Из этой таблицы нам будет нужна формула

\(\left(u^2 \right)'=2u\cdot u'\)

Допустим, нам нужно найти \(y'\), если \(x^2+y^2=9\). Можно, конечно, выразить \(y\) в явном виде: \(y=-\sqrt{9-x^2}\) и \(y=\sqrt{9-x^2}\). Однако это не лучший путь. Найдём производную обеих частей заданного равенства:

\(\left(x^2+y^2\right)'=(9)'\)

Так как \((9)'=0\) и \(\left(x^2+y^2\right)'=\left(x^2\right)'+\left(y^2\right)'\), то равенство станет таким:

\(\left(x^2\right)'+\left(y^2\right)'=0\)

А теперь применим формулу \(\left(u^2 \right)'=2u\cdot u'\):

\(2x\cdot x'+2y\cdot y'=0\)

Так как \(x'=1\), то равенство примет вид:

\(2x+2y\cdot y'=0\)

Отсюда уже несложно найти \(y'\):

\(y'=-\frac{x}{y}\)

Попробуйте точно также продифференировать обе части вашего равенства.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Найти производную

Сообщение Виктория24 »

у меня получается вот так:
((x^2)*y) штрих=(arcsin y) штрих
(x^2)штрих*y+x^2*y штрих= 1/ sqrt(1-y^2)
2*x*y+x^2*yштрих=1/sqrt(1-y^2)
y штрих= ((1/sqrt(1-y^2))-2*x*y)/x^2

это и будет ответом? так и остается в правой части и x, и y
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную

Сообщение Алексей »

По-моему, в ваших записях малость не хватает "штрихов" :)

\(\left(x^2 y\right)'=(\arcsin y)';\\ 2xy+x^2y'=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot y'\)

Теперь нужно дробь из правой части перекинуть налево, в слагаемое \(2xy\) - из левой части в правую. Потом в левой части \(y'\) выйдет за скобки.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Найти производную

Сообщение Виктория24 »

если я правильно поняла, то выходит так:
x^2*y штрих-(y штрих/sqrt(1-y^2))=-2*x*y
y штрих *(x^2-(1/sqrt(1-y^2))=-2*x*y
y штрих = (-2*x*y)/(x^2-(1/sqrt(1-y^2)))
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную

Сообщение Алексей »

В принципе, верно, но я бы убрал трёхэтажные дроби:

\(y'=\frac{-2xy}{x^2-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}=\frac{2xy\sqrt{1-y^2}}{1-x^2\sqrt{1-y^2}}\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить