Ок. Теперь я подскажу одно преобразование, - оно не совсем очевидно. В основании степени сделаем так:
\(\frac{1-\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}=1+\frac{1-\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}-1=1+\frac{-2\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}\)
Это было сделано, чтобы подогнать под форму второго замечательного предела:
\(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e\). Попробуйте подогнать ваш предел:
\(\lim_{t\to 0}\left(1+\frac{-2\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}} \right)^\frac{1}{-\sin t}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"