Пределы №7

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Именно по формуле приведения. У нас есть \(\cos\left(t+\frac{\pi}{2} \right)\). Открываем документ по тригонометрическим функциям и смотрим таблицу в конце документа. Она и позволит упростить ваш косинус.

С котангенсом поступим иначе:

\(\ctg\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{\tg\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4} \right)}\)

А тут уже работает формула для тангенса суммы, указанная в начале документа.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №7

Сообщение Оля »

\(-\sin t\)

\(tg(\frac{t}{2}+\frac{\pi }{4})=\frac{tg\frac{t}{2}+tg\frac{\pi }{4}}{1-tg\frac{t}{2}\cdot tg\frac{\pi }{4}}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Вот и подставляйте в предел. И учтите, что \(\tg\frac{\pi}{4}=1\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №7

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}(\frac{1-tg\frac{t}{2}}{1+tg\frac{t}{2}})^{\frac{1}{-\sin t}}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Ок. Теперь я подскажу одно преобразование, - оно не совсем очевидно. В основании степени сделаем так:

\(\frac{1-\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}=1+\frac{1-\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}-1=1+\frac{-2\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}}\)

Это было сделано, чтобы подогнать под форму второго замечательного предела: \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e\). Попробуйте подогнать ваш предел:

\(\lim_{t\to 0}\left(1+\frac{-2\tg\frac{t}{2}}{1+\tg\frac{t}{2}} \right)^\frac{1}{-\sin t}\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №7

Сообщение Оля »

\(\lim_{x \to 0}(1+\frac{-2tg\frac{t}{2}}{1+tg\frac{t}{2}})^{\frac{1}{\frac{-2tg\frac{t}{2}}{1+tg\frac{t}{2}}}\frac{\frac{-2tg\frac{t}{2}}{1+tg\frac{t}{2}}}{-sin t}}\)
ужас что получилось, наверно не правильно,но мы так на паре делали
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Почему неправильно? Правильно. Только не \(x\to 0\), а \(t\to 0\).

\(\lim_{t \to 0}e^{\frac{-2\tg\frac{t}{2}}{\left(\tg\frac{t}{2}+1\right)\cdot(-\sin t)}}=\lim_{t \to 0}e^{\frac{2\tg\frac{t}{2}}{\left(\tg\frac{t}{2}+1\right)\cdot \sin t}}\)

Только теперь синус в знаменателе нужно представить как \(\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}\). Ну, а тангенс - как отношение синуса и косинуса.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Пришлось немного повозиться с темой, - там вкралась ошибка в самом начале, а я ее пропустил. Из-за неё все решение испортилось. Я подправил сообщения, - попробуйте теперь поработать с полученным пределом.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы №7

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}e^{\frac{-2\frac{sin}{cos}\frac{t}{2}}{(tg\frac{t}{2}+1)\cdot (-2sin\frac{t}{2}\cdot cos\frac{t}{2})}} = \lim_{t \to 0}e^{\frac{\frac{-2}{cos\frac{t}{2}}}{(tg\frac{t}{2}+1)\cdot (-2\cdot cos\frac{t}{2})}}\) = \(\lim_{t \to 0}e^{\frac{-2}{(tg\frac{t}{2}+1)\cdot (-3cos\frac{t}{2})}}\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы №7

Сообщение Алексей »

Честно говоря, я не совсем понимаю, откуда взялась тройка перед косинусом :)

\(\lim_{t \to 0}e^{\frac{2\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}}{\left(\tg\frac{t}{2}+1\right)\cdot 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}}=\lim_{t \to 0}e^{\frac{1}{\left(\tg\frac{t}{2}+1\right)\cdot \cos^2\frac{t}{2}}}\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить