Пределы№8

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Пределы№8

Сообщение Оля »

\(\lim_{x \to 1} (\frac{e^{sin\pi x}-1}{x-1})^{x^{2}+1}\)
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы№8

Сообщение Оля »

\(t=x-1, x=t+1\)
\(t\rightarrow 0\)
\(\lim_{t \to 0} (\frac{e^{sin\pi(t+1)}-1}{(t+1)-1})^{(t+1)^{2}+1}\) = \(\lim_{t \to 0} (\frac{e^{sin\pi(t+1)}-1}{t})^{t^{2}+2t+2}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы№8

Сообщение Алексей »

Для начала желательно упростить синус, т.е. \(\sin(\pi(t+1))=\sin(\pi t+\pi)=\)? Затем можно будет поочерёдно применить две эквивалентности:
  1. \(e^\alpha-1\sim\alpha\) при \(\alpha\to 0\);
  2. \(\sin\alpha\sim\alpha\) при \(\alpha\to 0\).
После сокращения на \(t\) неопределенность в основании степени исчезнет.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы№8

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}(\frac{e^{sin(\pi t+t)}+1}{t})^{t^{2}+2t+2} = \lim_{t \to 0}(\frac{sin(\pi t+t)}{t})^{t^{2}+2t+2}= \lim_{t \to 0}(\frac{-sin\pi t}{t})^{t^{2}+2t+2}=\lim_{t \to 0}(\frac{-\pi t )}{t})^{t^{2}+2t+2}\)
\(=\lim_{t \to 0}(\frac{t(-\pi )}{t})^{t^{2}+2t+2}= \lim_{t \to 0}({-\pi })^{t^{2}+2t+2}\)
Последний раз редактировалось Оля 13 апр 2014, 20:58, всего редактировалось 4 раза.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы№8

Сообщение Алексей »

Напишу коротко, т.к. уже на бегу: \(\sin(\pi(t+1))\neq\sin(\pi t+t)\). Верное равенство: \(\sin(\pi(t+1))=\sin(\pi t+\pi)=-\sin(\pi t)\). Далее уже можно применять эквивалентность \(e^\alpha-1\sim\alpha\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы№8

Сообщение Оля »

\(\lim_{t \to 0}({-\pi})^{t^{2}+2t+2}=(-\pi)^{0+0+2}=(-\pi )^{2}=\pi ^{2}\) так? :)
Последний раз редактировалось Оля 13 апр 2014, 20:58, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы№8

Сообщение Алексей »

Эх... А если чуток повнимательнее? :) Откуда может в числителе взяться (-1), если мы заменили целое выражение \(1+e^\alpha\) буквой \(\alpha\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы№8

Сообщение Оля »

а теперь? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы№8

Сообщение Алексей »

Теперь нормально :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Пределы№8

Сообщение Оля »

Спасибо :)
Ответить