найти придел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

найти придел

Сообщение Виктория24 »

необходимо было найти несколько пределов. Благодаря примерам на вашем сайте справилась совсеми, кроме одного :(
никак он мне не поддается.
lim ln(tg x)/cos 2*x
x стремится к pi/4
получается неопределенность 0/0
насколько я понимаю здесь удобно воспользоваться следствием из 2 замечательного предела
ln(1+x)/x=1
преобразовала числитель ln(tgx+1)-1
далее: (ln(1+tgx)-1)*(1+tgx))/((1+tgx)*cos2x)
и на этом всё :( подскажите дальше куда двигаться?
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: найти придел

Сообщение Виктория24 »

получилось lim(ln(tg(t+pi/4))/cos2(t+pi/4)
t стремится к 0
lim(ln(tg(t+pi/4))/cos(2t+pi/2) формула приведения здесь не получается
преобразовала ln(tg(t+pi/4)) к виду ln((1+tgt)/(1-tgt))
и в знаменателе cos(2t+pi/2)= -sin 2t
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: найти придел

Сообщение Алексей »

Минуту, сейчас напишу полные преобразования :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: найти придел

Сообщение Виктория24 »

фуф, как хорошо, что вы пришли) а то у меня уже паника :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: найти придел

Сообщение Алексей »

Не паникуйте :) Сейчас всё разберем :)

Итак, знаменатель вы преобразовали верно. А вот с числителем придётся поработать.

\(\lim_{t\to 0}\frac{\ln\tg\left(t+\frac{\pi}{4} \right)}{-\sin 2t}\)

Теперь желательно упростить \(\tg\left(t+\frac{\pi}{4} \right)\). Гляньте, пожалуйста, документ по тригонометрическим функциям, и там вы найдёте формулу \(\tg(\alpha+\beta)\). Вот ее и нужно применить.

Если хотите, можете ваши преобразования прикрепить в виде картинки, - залив ее на любой хостинг картинок.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: найти придел

Сообщение Виктория24 »

я её и применяла выше и у меня получилось tgt+1/1-tgt, это не верно?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: найти придел

Сообщение Алексей »

Верно, отчего же нет :) Просто я немного пропустил этот момент в ваших записях. Т.е. предел стал таким:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\ln \frac{1+\tg{t}}{1-\tg{t}}}{-\sin 2t}\)

Нам под логарифмом нужно получить выражение вида \(1+\alpha\). Для этого сделаем такое преобразование:

\(\frac{1+\tg{t}}{1-\tg{t}}=1+\frac{1+\tg{t}}{1-\tg{t}}-1=1+\frac{2\tg{t}}{1-\tg{t}}\)

И предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\ln \left(1+\frac{2\tg{t}}{1-\tg{t}} \right)}{-\sin 2t}\)

Теперь можно применять эквивалентность \(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\) при \(\alpha\to 0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: найти придел

Сообщение Виктория24 »

получается ln(2tgt/1-tgt) а как дальше, ln(0) порлучается
ой нет ln не будет уже. просто 0 , а внизу 1
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: найти придел

Сообщение Алексей »

Как-то не совсем логично выходит :) Мы знаем, что если \(\alpha\to 0\), то \(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\). Так как \(\frac{2\tg{t}}{1-\tg{t}}\to 0\), то \(\ln \left(1+\frac{2\tg{t}}{1-\tg{t}} \right)\sim\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: найти придел

Сообщение Виктория24 »

2tgt/1-tgt
Ответить