Вычислить производную функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Вычислить производную функции

Сообщение Оля »

Добрый день! :)
\(y=arctg(tg\frac{x}{2}+1)\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Алексей »

И вам день добрый :) Вы имеете в виду вычислить производную первого порядка, верно?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Оля »

Наверное, да :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Алексей »

Ну, тут просто. Для начала будет нужна таблица производных. А из неё формула

\((\arctg u)'=\frac{1}{1+u^2}\cdot u'\)

В нашем случае нужно найти

\(y'=\left(\arctg\left(\tg\frac{x}{2}+1\right)\right)'\)

т.е. \(u=tg\frac{x}{2}+1\). Следовательно:

\(y'=\left(\arctg\left(\tg\frac{x}{2}+1\right)\right)'=?\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Оля »

\({y}'=({arctg(tg\frac{x}{2}+1)})'=\frac{1}{1
+(tg\frac{x}{2}+1)^{2}}\cdot {(tg\frac{x}{2}+1)}'= \frac{1}{1
+(tg\frac{x}{2}+1)^{2}}\cdot \frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}\cdot ({\frac{x}{2}}')\)

так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Алексей »

Отлично :yes: Вижу, вы пошли дальше и сами разобрались с тангенсом, - и это хорошо. Осталась мелочь, - т.е. \(\left(\frac{x}{2}\right)'\). Константу, т.е. \(\frac{1}{2}\), легко вынести за знак производной:

\(\left(\frac{x}{2}\right)'=\frac{1}{2}\cdot (x)'\)

Ну, а \(x'=1\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Оля »

\(\frac{1}{1+(tg\frac{x}{2}+1)^{2}}\cdot \frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Алексей »

Точно. Только желательно всё это свести в одну дробь.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Оля »

\(\frac{1}{1+(tg\frac{x}{2}+1)^{2}\cdot {cos^{2}\frac{x}{2}}\cdot {2}}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции

Сообщение Алексей »

Ну, число желательно записывать спереди. И про скобки помнить :)

\(\frac{1}{2\cdot\left(1+\left(\tg\frac{x}{2}+1\right)^{2}\right)\cdot {\cos^{2}\frac{x}{2}}}\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить