Вычислить производную функции 3

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Вычислить производную функции 3

Сообщение Оля »

\(y=(ctg3x)^{2e^{x}}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Алексей »

Вот это уже поинтереснее, нежели предыдущие. Готовой формулы тут просто нет, - поэтому применяют метод логарифмического дифференцирования. Попробуйте для начала взять натуральный логарифм обеих частей равенства, а затем учесть формулу \(\ln a^k=k\ln a\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Оля »

я не помню, как логарифмировать :oops:
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Алексей »

Очень просто: дописать значок \(\ln\) к обеим частям равенства :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Оля »

\(ln y= ln(ctg3x)^{2e^{x}}\)
так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Алексей »

Именно. А теперь в правой части нужно использовать формулу \(\ln a^k=k\ln a\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Оля »

\(2e^{x}\cdot ln(ctg3x)\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Алексей »

Как бы да, но левая часть никуда не делась:

\(\ln y=2e^x\cdot \ln \ctg 3x\)

А дальше берется производная обеих частей равенства:

\((\ln y)'=\left( 2e^x\cdot \ln \ctg 3x \right)'\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Оля »

\(\frac{1}{x}= 2e^{x}\cdot \frac{1}{ctg3x}\cdot {(ctg3x)}'\)
правильно? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить производную функции 3

Сообщение Алексей »

Хм... Интересный фокус :) Как вы превратили \(y\) в \(x\) в левой части равенства?

Относительно правой части: мы имеем формулу

\((u\cdot v)'=u'v+uv'\)

Вот в правой части ее и нужно использовать:

\(\left(2e^x\cdot \ln \ctg 3x \right)'=2\cdot \left(e^x\cdot \ln \ctg 3x \right)'=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить