Исследование функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

Это конечно очень сложно понять, но я думаю, что так:
\(x\rightarrow +\infty, e^{3-x}\rightarrow \infty\)
\(x\rightarrow -\infty, e^{3-x}\rightarrow 0\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Хм... Вроде наоборот:

если \(x\to -\infty\), то \(e^{3-x}\to +\infty\)
если \(x\to +\infty\), то \(e^{3-x}\to 0\)

Попробуйте подставить вместо х, например, 20. Это, конечно, не "плюс бесконечность", но всё же:

\(e^{3-20}=e^{-17}=\frac{1}{e^{17}}\)

Если вы посчитаете это число, то сможете сами убедиться, насколько оно близко к нулю.

Т.е., предел \(k= \lim_{x\to \infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}\) нужно рассмотреть при двух случаях:

\(\lim_{x\to -\infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}\)


\(\lim_{x\to +\infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}\)

Для начала попробуйте найти \(\lim_{x\to \infty }\frac{x-2}{x}\) (здесь совершенно безразлично, к какой именно бесконечности стремится х).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x-2}{x}=1\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Логично :)

Теперь можно расписать и эти два предела:

\(\lim_{x\to -\infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}=\lim_{x\to -\infty }\left( \frac{x-2}{x}\cdot e^{3-x}\right)=...\)


\(\lim_{x\to +\infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}=\lim_{x\to +\infty }\left( \frac{x-2}{x}\cdot e^{3-x}\right)=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x-2}{x}\cdot e^{3-x})= \lim_{x\rightarrow +\infty }( e^{3-x})=0\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }(\frac{x-2}{x}\cdot e^{3-x})= \lim_{x\rightarrow -\infty }( e^{3-x})=+\infty\) ? :?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Точно :yes: При этом можно сразу записать ответы, без промежуточных действий.

Итак, наклонные асимптоты можно искать только для \(x\to +\infty\). При этом \(k=0\). Вот и переходите к определению значения \(b\) - естественно, при условии \(x\to +\infty\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(b=0\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Вообще-то да, но каким методом вы это получили? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(b=\lim_{x\rightarrow +\infty}y(x)-kx=\lim_{x\rightarrow +\infty}y(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}= 0\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Хитро, конечно :) Но вот этот логический переход:

\(\lim_{x\to +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}= 0\)

как бы не совсем очевидный, - а если точнее, вообще не очевидный.

Кстати, и скобки в вашей записи обязательны:
Оля писал(а):\(b=\lim_{x\to +\infty}(y(x)-kx)=...\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить