Исследование функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

значит \(y=0\) - наклонная асимптота ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Ну да, асимптота. По сути, это просто ось Ох. Но этот предел \(\lim_{x\to +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}= 0\) всё равно требует пояснений, - просто так преподаватель его не зачтёт.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

а как пояснить?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Предлагаю правило Лопиталя. Дело в том, что в пределе \(\lim_{x\to +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}\) наличествует неопределенность вида \(\infty\cdot 0\), поэтому от такой неопределенности можно избавиться. Если учесть, что \(e^{3-x}=\frac{1}{e^{-(3-x)}}=\frac{1}{e^{x-3}}\), то:

\(\lim_{x\to +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-2}{e^{x-3}}=...\)

Вот тут и применяется правило Лопиталя.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

я так понимаю, нужно взять производную
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x-2}{e^{x-3}}= ({\frac{x-2}{e^{x-3}}})'=\frac{e^{x-3}-(x-2)}{e^{x-3}}\)
так? :?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Да, вы правы - нужно взять производную. Но не всей дроби сразу, а отдельно числителя и знаменателя:

\(\lim_{x\to +\infty}(x-2)\cdot e^{3-x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-2}{e^{x-3}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{(x-2)'}{\left( e^{x-3}\right)'}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x-3}}=0\)

Вот как-то так... Осталось монотонность функции, и вот там я бы настоятельно советовал перепроверить производную.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

я не знаю, что не правильно в производной :(
там же нужно использовать производную суммы?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Используем производную произведения, которая у вас была почти верна :)

\(y'=\left((x-2)e^{3-x}\right)' = (x-2)'\cdot e^{3-x}+ (x-2)\cdot \left(e^{3-x}\right)'= e^{3-x}+ (x-2)\cdot e^{3-x}\cdot (3-x)'=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(e^{3-x}-(x-2)\cdot e^{3-x}\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Отлично, только \(e^{3-x}\) желательно вынести за скобки.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить