Исследование функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Исследование функции

Сообщение Оля »

Здравствуйте :) я попыталась сама исследовать функцию, но возникли некоторые затруднения. Проверьте, пожалуйста :)
\(y=(x-2)e^{3-x}\)
1) область определения функции
\(x\neq 2\)
\(x \epsilon (-\infty;2)(2;+\infty )\)
2) участки знакопостоянства и точки пересечения с осями координат
а) \(y(x)> 0\) ; \((x-2)e^{3-x} > 0\) ; \(x-2> 0\) ; \(x> 2\) ;
\(y(x)< 0\) ; \((x-2)e^{3-x} < 0\) ; \(x-2< 0\) ; \(x< 2\) ;
b)\(Ox: y=0\) ; \((x-2)e^{3-x}=0\) ???
\(Oy: x=0\) \(y(0)=(0-2)\cdot e^{3-0}=(-2)\cdot e^{3}\) ???
3) Четность и нечетность функции.
Функция общего вида, ни четная, ни нечетная, т.к. область определения не симметрична относительно начала координат.
4) Периодичность.
периода нет.
5)Асимптоты.
а) вертикальные асимптоты.
\(х=2\)
\(\lim_{x\rightarrow 2-0} y(x)= \lim_{x\rightarrow 2-0} (x-2)e^{3-x}=\) ???
\(\lim_{x\rightarrow 2+0} y(x)= \lim_{x\rightarrow 2+0} (x-2)e^{3-x}=\) ???
b) наклонные асимптоты.
\(y=kx+b\)
\(k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{y(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(x-2)e^{3-x}}{x}\) ???
\(b=\lim_{x\rightarrow \infty }({y(x)}-{kx})= \lim_{x\rightarrow \infty }{(x-2)e^{3-x}}-{kx}\)???
6) Монотонность функции и точки экстремума.
\({y}'={((x-2)e^{3-x})}' = {((x-2))}'\cdot e^{3-x}+ (x-2)\cdot {(e^{3-x})}'= e^{3-x}+ (x-2)\cdot e^{3-x}\)
Выводы: 1) y(x) убывает на \((-\infty;2)\)
2)y(x) возрастает на\((2;+\infty)\)
3) x=2 - точка локального минимума
7) Участки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
\({y}''={(e^{3-x}+(x-2)\cdot e^{3-x})}'=\) ???
8) График.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Добрый день :) Прикольная у вас аватарка :)

Давайте перейдем к функции.

У меня сразу возникает вопрос к области определения. Зачем была исключена двойка? Мы ведь не делим на \(x-2\). Если бы функция имела вид \(\frac{e^{3-x}}{x-2}\), то утверждение \(x\neq 2\) было бы совершенно верным. Но для умножения многочлена (\(x-2\)) на экспоненту ограничений нет; оба сомножителя существуют при \(x\in R\). Поэтому начало решения придется малость пересмотреть.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

1) область определения функции
\(x \epsilon R\)
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

значит дальше все неправильно идет :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Почему все неправильно? Неправильной будет только часть. Кстати, в LaTex символ \(\in\) набирается командой \in. Это быстрее, чем писать epsilon :)

К интервалам знакопостоянства вопросов нету. Насчет пересечения графика с осью Ox: так как \(e^{3-x}>0\) при любом \(x\in R\), то единственный вариант: \(x-2=0\). Отсюда найти х уже как бы несложно :) Пересечение с Оу верно, но я бы записал так: \(y=-2e^3\). Т.е., скобки бы убрал.

А вот исследование на четность придется перепроверить.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

Получается нечетная функция?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Это как? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(y(-x)=(-x-2)\cdot e^{3-(-x)}\)
так же проверяется четность/нечетность?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Именно так. Но ведь из этого следует, что \(y(-x)\neq y(x)\) и \(y(-x)\neq -y(x)\), т.е. функция ни четная ни нечетная.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

ну я так и писала :)
Ответить