Исследование функции.

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Исследование функции.

Сообщение Оля »

Добрый день :) Я наверно Вам уже надоела :D Это последнее задание на исследование функции
\(y=2x^{3}-3x^{2}-4\)
1)Область определения функции
xϵR
2)Участки знакопостоянства и точки пересечения с осями координат
а) \(y(x)> 0\) ; \(2x^{3}-3x^{2}-4> 0\) ???
\(y(x)< 0\) ; \(2x^{3}-3x^{2}-4< 0\)???
b)\(Ox: y=0\) ; \(2x^{3}-3x^{2}-4=0\) ???
\(Oy: x=0\) ; \(y(0)= -4\)
3)Четность и нечетность функции.
Ни четная, ни нечетная.
4)Периодичность.
Периода нет
5) Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет.
b) наклонные асимптоты.
\(y=kx+b\)
\(k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{y(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^{3}-3x^{2}-4}{x}\) ???
\(b=\lim_{x\rightarrow \infty }({y(x)}-{kx})= \lim_{x\rightarrow \infty } ((2x^{3}-3x^{2}-4) -kx)\)???
6) Монотонность функции и точки экстремума.
\({y}'= {(2x^{3}-3x^{2}-4)}'= 6x^{2}-6x = 6x(x-1)\)
7) Участки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
\({y}''={6x(x-1)}'= 6x^{2}-6x =12x-6\)

Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

Попыталась построить график, в программе, которую Вы рекомендовали :)
кажется с интервалом что-то не так
Вложения
график 1.gif
график 1.gif (1.73 КБ) 6934 просмотра

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Добрый Волк »

Оля писал(а):Добрый день :) Я наверно Вам уже надоела :D Это последнее задание на исследование функции
\(y=2x^{3}-3x^{2}-4\)
И вам день добрый :) Нынче люди, которые хотят разобраться в материале, а не просто получить готовое решение, - редкость, достойная занесения в Красную Книгу студентов, так что спрашивайте сколько хотите и что хотите :)

Давайте для начала разберемся с интервалами знакопостоянства. Для нахождения интервалов, на которых функция больше и меньше нуля, нужно знать точки, в которых эта функция равна нулю, т.е., по сути, нужно решить уравнение

\(2x^3-3x^2-4=0\)

Нужно найти корни многочлена третьей степени. Для решения таких задач есть спец. формулы, но здесь можно поступить попроще, подобрав корень схемой Горнера. Попробуйте испытать число \(x=2\) в качестве корня данного многочлена, с использованием схемы Горнера. На данной странице действуйте согласно примеру №1. Вам эта схема и дальше понадобится, например, для интегралов, так что желательно ей воспользоваться. Потом уже пойдем далее :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

Наверно не правильно, у меня получилось: \((x-1)(2x^3-x^2)-4\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Добрый Волк »

Минутку... Вы же двойку проверяли, а не единицу :) Так как мы делим на \(x-2\), то в первой ячейке второй строки должна быть единица.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

Аа, точно! исправлю :)

Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

\((x-2)(2x^2+x-2)+0\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Добрый Волк »

Логично, только в скобке не "минус 2", а "плюс 2". Ну и столь изысканный "+0" лучше не писать, - потому что проку от него, честно говоря, никакого :) И уравнение примет теперь вид:

\((x-2)\left(2x^2+x+2 \right)=0\)

Т.е., первый корень уже очевиден: \(x_1=2\). Осталось еще проверить скобку, нет ли там иных корней, решив уравнение \(2x^2+x+2 =0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

Получается, что корней нет, так как дискриминант равен \(-15\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Добрый Волк »

Точно :yes: Действительных корней нет. Вторая скобка больше нуля при всех \(x\in R\), т.е. \(2x^2+x+2>0\). Вывод: знак всей функции будет зависть только от знака первой скобки, т.е. от знака \(x-2\). Вот и дорога к решению двух вопросов: интервалы знакопостоянства и точка пересечения с осью Ох.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»