Исследование функции

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Исследование функции

Сообщение Снежана »

Здравствуйте! Это снова я :D Мне нужна ваша помощь, не могу разобраться в некоторых пунктах, подскажите пожалуйста :) :) :) :) :) :) Попыталась как-то начать сама...
\(y=\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}\)
1)Область определения функции
D(f)= \((-\infty;+\infty )\)
2)Участки знакопостоянства и точки пересечения с осями координат
а) \(y(x)> 0\) ; \(\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}> 0\) ???
\(y(x)< 0\) ; \(\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}< 0\)???
b)\(Ox: y=0\) ; \(\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}=0\) ???
\(Oy: x=0\) ; \(y(0)= 2\)
3)Четность и нечетность функции.
Ни четная, ни нечетная.
4)Периодичность.
Периода нет
5) Асимптоты.
а) вертикальные.
\(\lim_ {x\to ?-0}{\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8} }= ????\)
\(\lim_ {x\to ?+0}{\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8} }= ????\)
b) наклонные асимптоты.
\(y=kx+b\)
\(k=\lim_ {x\to \infty }{\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}} = \lim_{x\to \infty}{\frac{x^{3}\cdot (\frac{16}{x^{3}}-\frac{6}{x}-1)}{x^{3}\cdot (\frac{8}{x^{3}})}} = \frac{0-0-1}{0}=\frac{-1}{0}= -\infty\) ???
\(b=\lim_{x\rightarrow \infty }({y(x)}-{kx})= \lim_ {x\to \infty }{\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}}-kx)\)???
6) Монотонность функции и точки экстремума.
\({y}'= ({\frac{(16-6x^{2}-x^{3})}{8}})'= \frac{(16-6x^{2}-x^{3})'\cdot 8-(16-6x^{2}-x^{3})\cdot (8)'}{8^{2}} = \frac{(-12x-3x^{2})-(16-6x^{2}-x^{3})\cdot (0)}{8} = ??????\) здесь у меня только один вопрос, тут надо скобку умножать на ноль, всю,чтобы получился ноль? я вот сомневаюсь...

7) Участки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
\({y}''=(\frac{(-12x-3x^{2})-(16-6x^{2}-x^{3})\cdot (0)}{8})' = ????\)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Добрый день! :) Сейчас гляну. Кстати, а зачем скобки в записи функции? Можно просто записать так: \(y=\frac{16-6x^2-x^3}{8}\). Но это мелочи, сейчас обратимся к иным пунктам.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Итак, с областью определения - всё верно, никаких ограничений нет, \(x\in R\). Или так как вы записали: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\). Кстати, это можно даже покороче записать: \(D(y)=R\).

Но давайте перейдём к интервалам знакопостоянства. Для нахождения интервалов, на которых функция больше и меньше нуля, нужно знать точки, в которых эта функция равна нулю, т.е., по сути, нужно решить уравнение

\(y=0;\;\; \frac{16-6x^2-x^3}{8}=0.\)

Или, что то же самое, \(16-6x^2-x^3=0\). Хотя, честно говоря, лучше записать по убыванию степеней: \(-x^3-6x^2+16=0\). Для простоты записи можно еще умножить обе части равенства и на (-1), придя к такому уравнению:

\(x^3+6x^2-16=0\)

В левой части этого равенства - многочлен третьей степени, и задача состоит в отыскании корней этого многочлена. Попробуйте испытать число \(x=-2\) в качестве корня данного многочлена, с использованием схемы Горнера. На данной странице действуйте согласно примеру №1. Вам эта схема и дальше понадобится, например, для интегралов, так что желательно ей воспользоваться. Потом уже пойдем далее :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Re: Исследование функции

Сообщение Снежана »

я решила по схеме у меня получилась табличка : |1 |6 |-16|
-2|-2| 10|-36|
там же сначала табличку надо делать? сначала? или я что-то не так поняла? :oops:

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Ну да, табличку. В первой строке этой таблички будут коэффициенты многочлена \(x^3+6x^2-16\), расположенные по убыванию степеней. Так как х здесь нет, то коэффициент перед х равен нулю. Говоря иными словами, формально можно многочлен переписать так: \(1\cdot x^3+6\cdot x^2+0\cdot x-16\). В первой ячейке второй строки будет число -2. А дальше по схеме.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Re: Исследование функции

Сообщение Снежана »

во второй ячейке второй строки будет 10, а в третьей будет -36

Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Re: Исследование функции

Сообщение Снежана »

сейчас я дальше решу и напишу)))

Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Re: Исследование функции

Сообщение Снежана »

так? получается? :)
\((x-2)(-2x^{3}-10x^{2}+36)\)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Как-то не очень... У нас был многочлен третьей степени. Мы поделили его на многочлен первой степени, т.е. на \(x-(-2)\) или попросту на \(x+2\). Так как \(3-1=2\), то в результате должен остаться многочлен второй степени, а не третьей. Как-то так...
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Снежана
Сообщения: 154
Зарегистрирован: 01 апр 2014, 22:10
Откуда: г.Сыктывкар

Re: Исследование функции

Сообщение Снежана »

просто исправить, вместо третьей степени вторую поставить???))
\((x-2)(-2x^{2}-10x^{2}+36)\)[/quote]

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»