Исследовать функцию и построить ее график

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

\(y=\frac{e^{2(x+2)}}{2(x+2)}\) :)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Тут нужно идти по пунктам. Самый первый - это

Область определения

Т.е., все те значения, которые может принимать х. Ваше мнение: чему не может равняться х? Какое значение нужно исключить?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

Область определения функции
\(x\neq -2\)
Df=(-бесконечности;-2) и (-2;+ бесконечности)
так? :)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Именно :) Следующий пункт:

Интервалы знакопостоянства

Дело в том, что \(e\) в любой степени - величина положительная, т.е. знак выражения \(\frac{e^{2(x+2)}}{2(x+2)}\) будет зависеть только от знака знаменателя \(x+2\). Вот исходя из этого и нужно определить, когда \(y>0\), а когда \(y<0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

y(x)>0,если х+2>0
x>-2

y(x)<0,если х+2<0
x<-2

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Логично :) Ну, и как следующий пункт:

Точки пересечения с осями координат

Любой график пересекает ось Оу там, где \(x=0\). Т.е., чтобы найти точку пересечения графика с осью Оу, требуется определить значение \(y(0)\).

Любой график пересекает ось Ох там, где \(y=0\). Т.е., чтобы найти точку (или точки) пересечения графика с осью Ох, нужно выяснить, какие решения имеет уравнение \(y=0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

Ox: у=0, \(\frac{e^{2(x+2)}}{2(x+2)}=0\), \(e^{2(x+2)}=0\)
Решений нет,значит график функции не пересекает ось Ох.
Оу: х=0, \(\frac{e^{2(0+2)}}{2(0+2)}=\frac{e^{4}}{4}\)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Отлично, только точку пересечения с осью Оу можно записать так: \(\left(0,\frac{e^4}{4} \right)\). Область определения несимметрична относительно начала координат, значит функция не будет ни чётной ни нечётной. Поэтому нужно перейти к следующему пункту:

Интервалы убывания, возрастания и точки экстремума

Для начала потребуется найти производную, т.е. \(y'\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

\(y{}'=(\frac{e^{2(x+2)}}{2(x+2)}){}'=\frac{(e^{2(x+2)}){}'*(2(x+2))+(2(x+2)){}'*(e^{2(x+2)})}{(2(x+2))^{2}}=\\=\frac{e^{2(x+2)}*(2(x+2))+2(x+2)*(x+2){}'*(e^{2(x+2)})}{(2(x+2))^{2}}=\frac{e^{2(x+2)}*(2(x+2))+2(x+2)*1*(e^{2(x+2)})}{(2(x+2))^{2}}=\frac{e^{2(x+2)}*(2(x+2))+2(x+2)*(e^{2(x+2)})}{(2(x+2))^{2}}\)
так? :)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Минуту... Гляньте формулу для \(\left(\frac{u}{v} \right)'\) в таблице производных. Там в числителе знак "минус". Хотя ход решения вроде бы норм (если не считать знака), но мне бы желательно увидеть готовый ответ :) Вот для сверки результат:

\(y'=\frac{e^{2(x+4)}(2x+3)}{2\cdot (x+2)^2}\)

Кстати, если нужно перенести длинную формулу, то используйте \\ в том месте, где нужно разорвать запись.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»