Исследовать функцию и построить ее график

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

со знаком может и есть ошибочка,а вот ответ конечный я записать не могу :(
помогите пожалуйста :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Для начала я запишу отдельно две производные, чтобы потом не загромождать запись их нахождением:

\(\bigl( 2(x+2) \bigr)'=2\cdot (x+2)'=2\cdot ((x)'+(2)')=2\cdot (1+0)=2;\\

\left(e^{2(x+2)}\right)'=e^{2(x+2)}\cdot \left(2(x+2) \right)'=e^{2(x+2)}\cdot 2=2 e^{2(x+2)}.\)

Теперь можно перейти и к производной \(y'\):

\(y'=\left(\frac{e^{2(x+2)}}{2(x+2)} \right)'=\frac{\left( e^{2(x+2)}\right)'\cdot 2(x+2)-e^{2(x+2)}\cdot \bigl(2(x+2) \bigr)'}{\bigl(2(x+2) \bigr)^2}=
\frac{2 e^{2(x+2)}\cdot 2(x+2)-e^{2(x+2)}\cdot 2}{4(x+2)^2}=2e^{2(x+2)}\cdot \frac{2(x+2)-1}{4(x+2)^2}=e^{2(x+2)}\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2}\)


Ну, примерно так... Дальше все стандартно: приравниваем производную к нулю, а затем находим те значения \(x\), при которых \(y'=0\) или \(y'\) не существует.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

\(e^{2(x+2)}*\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}}=0\)
а как это решить??
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Рассудим логически :) Учтем, что \(e^\alpha > 0\) при любом \(\alpha \in R\). Т.е. выражение \(e^{2(x+2)}\) не может равняться нулю. Остается выяснить, при каких значениях \(x\) дробь \(\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}}\) равна нулю. Любая дробь равняется нулю там и только там, где равен нулю числитель. А это значит, что мы имеем простенькое уравнение \(2x+3=0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Вы совершенно правы :) Т.е., при \(x=-\frac{3}{2}\) производная равна нулю, т.е. \(y'=0\). Кстати, такая точка, в которой \(y'=0\), называется стационарной.

Вообще-то, кроме тех точек, в которых \(y'=0\), нужны еще точки, в которых производная не существует. Ну, а наша производная не существует в точке, в которой равен нулю знаменатель, т.е. \(2(x+2)^2=0\). Данное равенство выполняется в точке \(x=-2\). Однако эта точка не входит в область определения., т.е. мы её в любом случае будем показывать на числовой оси.


Итак, на числовой оси рисуем точку \(-2\), которую мы исключили из области определения, и стационарную точку \(-\frac{3}{2}\).

1.png
1.png (988 байт) 5172 просмотра

А далее нужно выяснить знак \(y'\) на каждом интервале. Там, где \(y'>0\), функция возрастает, а где \(y'<0\) - убывает. Ну, и точки максимума и минимума (да и сами максимумы и минимумы надо определить).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

будет +,-,+
(-бесконеч.,-2),-2,(-2,-3/2),-3/2,(-3/2,+бесконеч.)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Знаки желательно уточнить, - только учтите, что они вовсе не обязаны чередоваться :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

я не понимаю где ошибка :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Ну, тут дело несложное :) У нас была производная \(y'=e^{2(x+2)}\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2}\). И именно в нее мы должны подставить числа с каждого из интервалов, полученных при исследовании, чтобы выяснить знак производной на каждом интервале. Можно, конечно, подставлять просто и незамысловато. Например, выберем некое число из правого крайнего интервала, т.е. из интервала \(\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)\). Возьмем, например, \(x=0\):

\(y'(0)=e^{2(0+2)}\cdot \frac{2\cdot 0+3}{2(0+2)^2}=e^4\cdot \frac{3}{8}>0\)


Итак, на интервале \(\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)\) производная больше нуля. И на остальных интервалах можно поступить точно так же, но есть один нюанс. Зачем утруждать себя лишней работой? :) Нас ведь интересует только знак, верно? Первый же вопрос: а от чего, собственно, этот знак зависит? Судите сами: выражение \(e^{2(x+2)}>0\) при любых иксах. Выражение \(2(x+2)^2\) в знаменателе тоже больше нуля на всей области определения. Остается лишь \(2x+3\), - и именно от этого выражения зависит знак \(y'\). Т.е., какой знак у выражения \(2x+3\) - такой же знак имеет \(y'\). Например, опять обратимся к числу \(x=0\). Если \(x=0\), то \(2x+3=0+3=3>0\). Следовательно, на этом интервале \(y'>0\).

Аналогично проверяются и остальные интервалы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»