Исследовать функцию и построить ее график

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

там где знак - функция убывает,а где + возрастает))
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Ну разве могу я что-либо возразить против верного ответа? :) Только желательно записывать полностью:

Если \(x\in \left( -\infty; -2\right) \cup \left(-2;-\frac{3}{2}\right)\) функция убывает;
если \(x\in \left(-\frac{3}{2};+\infty\right)\) - функция возрастает.

И еще один вопрос. До значения \(x=-\frac{3}{2}\) функция убывала, т.е. становилась меньше и меньше. После значения \(x=-\frac{3}{2}\) функция возрастает, т.е. увеличивается и увеличивается. Итак, ваш выбор: \(x=-\frac{3}{2}\): точка максимума или минимума? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

я думаю,что максимума,так как функция сначала убывала,а потом резко стала возрастать)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Максимум - это, грубо говоря, самое большое значение. Т.е. получается, что функция уменьшалась, уменьшалась, - и пришла к своему наибольшему значению? :?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

ну значит минимума)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Ну, это уже более логично :) Т.е. \(x=-\frac{3}{2}\) - это точка минимума, а сам минимум - это значение функции в данной точке, т.е.

\(y_{min}=y\left(-\frac{3}{2}\right)=...\)

Следующий пункт:

Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Чтобы перейти к исследованию функции на предмет выпуклости и вогнутости, нужно найти \(y''\). Так как \(y'=e^{2(x+2)}\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2}\), то:

\(y''=(y')'=\left(e^{2(x+2)}\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2} \right)'=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

\(y(-\frac{3}{2})=\frac{e^{2(-\frac{3}{2}+2)}}{2(-\frac{3}{2}+2)}=\frac{e^{2(-\frac{3}{2})}}{2(-\frac{3}{2})}=\frac{e^{-3}}{-3}\)

\(y{}''=(e^{2(x+2)}*\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}}){}''=(e^{2(x+2)}){}'*(\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}})+(\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}}){}'*(e^{2(x+2)})\)
Помогите с производной пожалуйста,не знаю как дальше :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Хм... У меня, честно говоря, возник вопрос к вашему методу раскрытия скобок :) Так как \(-\frac{3}{2}+2=-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2}\), то

\(2\cdot \left(-\frac{3}{2} +2 \right)=2\cdot \frac{1}{2}=1.\)

Так что, мне кажется, значение \(y\left(-\frac{3}{2}\right)\) стоит пересмотреть.



Начало с \(y''\) положено почти верно, однако я бы убрал немного скобок:

\(y''=(y')'=\left(e^{2(x+2)}\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2} \right)'=\left(e^{2(x+2)} \right)'\cdot \frac{2x+3}{2(x+2)^2}+e^{2(x+2)}\cdot \left(\frac{2x+3}{2(x+2)^2} \right)'\)

Чтобы найти \(\left(e^{2(x+2)} \right)'\), придется использовать формулу №6 из таблицы производных, т.е.

\(\left(e^{2(x+2)} \right)'=e^{2(x+2)}\cdot (2(x+2))'=...\)

Чтобы найти \(\left(\frac{2x+3}{2(x+2)^2} \right)'\) используется формула для \(\left( \frac{u}{v}\right)'\), указанная в конце таблицы производных., т.е.

\(\left(\frac{2x+3}{2(x+2)^2} \right)'=\frac{(2x+3)'\cdot 2(x+2)^2-(2x+3)\cdot \left(2(x+2)^2\right)'}{4(x+2)^4}=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Вероника »

\(y(-\frac{3}{2})=\frac{e^{2(-\frac{3}{3}+2)}}{2(-\frac{3}{2}+2)}=\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2*\frac{1}{2}}=e\frac{1}{2}\)

\(e^{2(x+2)}*(2(x+2)){}'=e^{2(x+2)}*2]\)

\((\frac{2x+3}{2(x+2)^{2}}){}'=\frac{(2x+3){}'*2(x+2)^{2}+(2(x+2)^{2}){}'*2x+3}{(2(x+2)^{2})^{2}}=\frac{2*2(x+2)^{2}+1}{(2(x+2)^{2})^{2}}]\)
Надеюсь правильно :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить ее график

Сообщение Алексей »

Эх... Вы знаете, что магию вне Хогвартса использовать запрещено? Просто иначе, чем магией я не могу это пояснить :) Мы выяснили, что

\(2\cdot \left(-\frac{3}{2} +2 \right)=2\cdot \frac{1}{2}=1.\)

Почему выражение \(2\cdot \left(-\frac{3}{2} +2 \right)\) в степени вдруг стало равно \(\frac{1}{2}\)? Чудо, не иначе :geek:

Производная \(\left(e^{2(x+2)} \right)'\) найдена верно, т.е. \(\left(e^{2(x+2)} \right)'=2e^{2(x+2)}\). А вот с дробью печаль, там перепроверять надо.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»