Вычислить предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Вычислить предел

Сообщение Анна »

1) lim((X+3)^1/3-(X^1/3)) при Х стремящемся к минус бесконечности
2) lim((sinX^2-tg4X^2)/ 16*X^4) при Х стремящемся к нулю
3) lim(((1-5*X)^1/2)-1)/(3*X^2+X) при Х стремящемся к нулю
Готовлюсь к контрольной аудиторной
Если есть возможность, подскажите пожалуйста
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Ну, давайте начнём с первого предела. Насколько я понимаю, он имеет такой вид:

\(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{x}\right)\)

Здесь мы имеем неопределённость вида \(\infty-\infty\). Надо избавиться от такой неопределённости, домножив и разделив на сопряжённое выражение: \(\sqrt[3]{(x+3)^2}+\sqrt[3]{x+3}\cdot\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\):

\(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{x}\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt[3]{(x+3)^2}+\sqrt[3]{x+3}\cdot\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}{\sqrt[3]{(x+3)^2}+\sqrt[3]{x+3}\cdot\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}=...\)

Смысл в том, что при раскрытии скобок в числителе корни должны исчезнуть. Когда избавитесь от корней, то исчезнет и неопределенность :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Вычислить предел

Сообщение Анна »

Как решать аналогичное с Х стремящимся к бесконечности я понимаю :) здесь( при Х стремящемся к минус бесконечности) я не поняла почему получается (бесконечность-бесконечность)
я знаю такое правило: (+бесконечность)+(-бесконечность)= лишено смысла
а у нас получается: (-бесконечнчость)- (-бесконечность)= (-бесконечность)+ (+бесконечность)
ругайте меня!!! :D похоже, что рассуждение у меня никакое
Ну все загвоздки в этих бесконечностях, может быть у вас есть какая нибудь теория конкретно по этому?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Собственно говоря, никакой теории нету :) Вы сами записали, что
Анна писал(а):я знаю такое правило: (+бесконечность)+(-бесконечность)= лишено смысла
Да, такой вариант есть неопределённость, и обозначается он обычно просто как \(\infty-\infty\). Только не пишут \(+\infty+(-\infty)\). Например, \(+5+(-3)=+5-(+3)\). Так и здесь: вместо \(+\infty+(-\infty)\) мы можем записать \(+\infty-(+\infty)\).

Впрочем, в роли бесконечности в записи \(\infty-\infty\) может выступать и "минус бесконечность":

\(-\infty-(-\infty)\)

Скажу так: под \(\infty\) подразумевается одновременно "плюс бесконечность" или "минус бесконечность". Т.е. \(+\infty-(+\infty)\) или \(-\infty-(-\infty)\). Однако, повторюсь, обычно так не записывают, а пишут просто: \(\infty-\infty\).

Насчет именно нашего примера: да, у нас получается, как вы и писали,
Анна писал(а):а у нас получается: (-бесконечнчость)- (-бесконечность)= (-бесконечность)+ (+бесконечность)
Только я бы остановился на этом:
Анна писал(а):а у нас получается: (-бесконечнчость)- (-бесконечность)
Если хотите прийти к случаю \(+\infty-(+\infty)\), то можно просто поменять местами слагаемые:

\(-\infty+(+\infty)=(+\infty)+(-\infty)=+\infty-(+\infty)\)

Если угодно, то для этого предел можно формально переписать в таком виде:
\(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{x}\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+3}\right)\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Вычислить предел

Сообщение Анна »

Первый понятен. Во втором ответ получился -бесконечность
вот мои рассуждения
lim(X^2-(4*X)^2)/16*X^4= -15/16*X^2=-15/0=-бесконечность
верно?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Я, честно говоря, не совсем понял запись второго предела. Он такой: \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2-\tg(4x^2)}{16x^4}\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Вычислить предел

Сообщение Анна »

lim((sin^2(X)-tg^2(4X))/ 16*X^4) при Х стремящемся к нулю
синус квадрат 2х - тангенс квадрат 4х
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Вычислить предел

Сообщение Анна »

просто синус квадрат Х!!! а не 2Х
в первом случае
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Ага, то есть \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x-\tg^2 4x}{16x^4}\). Да, ответ будет \(-\infty\). Однако с заменами синуса и тангенса на их аргументы в целом нужно относиться осторожно. Например, в пределе

\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tg x}{x^3}\)

если мы так "формально" заменим синус и тангенс просто иксами, то получим в числителе \(x-x=0\) и ноль в ответе. Однако это будет ошибкой, а настоящий ответ равен \(-\frac{1}{2}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Вычислить предел

Сообщение Анна »

В третьем я получила (0/0), далее нужно домножить и числитель и знаменатель на ((1-5Х)^1/2) +1
Ответить