Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Stanour
Сообщения: 7
Зарегистрирован: 14 дек 2015, 23:36

Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Stanour »

Изображение

Позабыл немного методику решения...

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Добрый Волк »

Тут всё просто: дифференцируем по x обе части заданного равенства:

\(\left(\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\right)'=\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'\)

Разберем правую часть, левая разбирается аналогично. Согласно таблице производных, верна формула \((\ln{u})'=\frac{1}{u}\cdot{u'}\), поэтому, подставляя \(u=\sqrt{x^2+y^2}\), будем иметь:

\(\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(\sqrt{x^2+y^2} \right)'\)

Далее, так как \((\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot{u'}\), то \(\left(\sqrt{x^2+y^2} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(x^2+y^2 \right)'\). Учитывая \(\left(u^2\right)'=2u\cdot{u'}\) и \(x'=1\), получим:

\(\left(x^2+y^2 \right)'=2x\cdot{x'}+2y\cdot{y'}=2x+2y\cdot{y'}\)

Объединяем полученные результаты:

\(\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left( 2x+2y\cdot{y'}\right)=\frac{x+y\cdot{y'}}{x^2+y^2}\)

Попробуйте аналогично разобрать левую часть.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Stanour
Сообщения: 7
Зарегистрирован: 14 дек 2015, 23:36

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Stanour »

\(({arctg\frac{y}{x}})'=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}*\frac{y'*x-y}{x^2}\)
Вот так?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Добрый Волк »

Почти, только можно упростить:
\(\left(\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\right)'=\frac{xy'-y}{x^2+y^2}\)

Записываем полученное равенство:

\(\frac{xy'-y}{x^2+y^2}=\frac{x+yy'}{x^2+y^2}\)

Отсюда сокращаем лишнее и выражаем \(y'\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Stanour
Сообщения: 7
Зарегистрирован: 14 дек 2015, 23:36

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Stanour »

\({y}'=\frac{x^3+xy^2+y^3+x^2y}{x^2+x-x^2y-y^3}\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Добрый Волк »

:shock:

Имеем формулу \(\frac{xy'-y}{x^2+y^2}=\frac{x+yy'}{x^2+y^2}\). Умножая обе части на \(x^2+y^2\), получим:

\(xy'-y=x+yy'\)

Отсюда и выражаем \(y'\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Добрый Волк »

Да, а теперь, чтобы найти \(y''\) нужно брать производную еще один раз, т.е.

\(y''=\left(\frac{x+y}{x-y}\right)'=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Stanour
Сообщения: 7
Зарегистрирован: 14 дек 2015, 23:36

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Stanour »

\(\frac{(1+{y}')(x-y)+(x+y)(1-{y}')}{(x-y)^2}\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно

Сообщение Добрый Волк »

Только знак иной:

\(\frac{(1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')}{(x-y)^2}\)

Дальше останется лишь раскрыть скобки в числителе, упростить, а затем подставить \(y'=\frac{x+y}{x-y}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»