Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Позабыл немного методику решения...
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Тут всё просто: дифференцируем по x обе части заданного равенства:
Разберем правую часть, левая разбирается аналогично. Согласно таблице производных, верна формула \((\ln{u})'=\frac{1}{u}\cdot{u'}\), поэтому, подставляя \(u=\sqrt{x^2+y^2}\), будем иметь:
Далее, так как \((\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot{u'}\), то \(\left(\sqrt{x^2+y^2} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(x^2+y^2 \right)'\). Учитывая \(\left(u^2\right)'=2u\cdot{u'}\) и \(x'=1\), получим:
Объединяем полученные результаты:
Попробуйте аналогично разобрать левую часть.
\(\left(\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\right)'=\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'\)
Разберем правую часть, левая разбирается аналогично. Согласно таблице производных, верна формула \((\ln{u})'=\frac{1}{u}\cdot{u'}\), поэтому, подставляя \(u=\sqrt{x^2+y^2}\), будем иметь:
\(\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(\sqrt{x^2+y^2} \right)'\)
Далее, так как \((\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot{u'}\), то \(\left(\sqrt{x^2+y^2} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left(x^2+y^2 \right)'\). Учитывая \(\left(u^2\right)'=2u\cdot{u'}\) и \(x'=1\), получим:
\(\left(x^2+y^2 \right)'=2x\cdot{x'}+2y\cdot{y'}=2x+2y\cdot{y'}\)
Объединяем полученные результаты:
\(\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left( 2x+2y\cdot{y'}\right)=\frac{x+y\cdot{y'}}{x^2+y^2}\)
Попробуйте аналогично разобрать левую часть.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
\(({arctg\frac{y}{x}})'=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}*\frac{y'*x-y}{x^2}\)
Вот так?
Вот так?
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Почти, только можно упростить:
Записываем полученное равенство:
Отсюда сокращаем лишнее и выражаем \(y'\).
\(\left(\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\right)'=\frac{xy'-y}{x^2+y^2}\)
Записываем полученное равенство:
\(\frac{xy'-y}{x^2+y^2}=\frac{x+yy'}{x^2+y^2}\)
Отсюда сокращаем лишнее и выражаем \(y'\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
\({y}'=\frac{x^3+xy^2+y^3+x^2y}{x^2+x-x^2y-y^3}\)
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Имеем формулу \(\frac{xy'-y}{x^2+y^2}=\frac{x+yy'}{x^2+y^2}\). Умножая обе части на \(x^2+y^2\), получим:
\(xy'-y=x+yy'\)
Отсюда и выражаем \(y'\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
\({y}'=\frac{x+y}{x-y}\)
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Да, а теперь, чтобы найти \(y''\) нужно брать производную еще один раз, т.е.
\(y''=\left(\frac{x+y}{x-y}\right)'=...\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
\(\frac{(1+{y}')(x-y)+(x+y)(1-{y}')}{(x-y)^2}\)
Re: Найти производную второго порядка функции, заданной неявно
Только знак иной:
Дальше останется лишь раскрыть скобки в числителе, упростить, а затем подставить \(y'=\frac{x+y}{x-y}\)
\(\frac{(1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')}{(x-y)^2}\)
Дальше останется лишь раскрыть скобки в числителе, упростить, а затем подставить \(y'=\frac{x+y}{x-y}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"