Уравнение касательной и нормали

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
schecter

Уравнение касательной и нормали

Сообщение schecter »

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в зад. точке
Под знаком системы:
x=1-t^2
y= t-t^3 , t0=2

Как решать такие задачи? везде в примерах показано на одном уравнении, а тут 2

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной и нормали

Сообщение Добрый Волк »

У вас кривая задана в параметрической форме. Уравнения касательной и нормали при этом находят по вполне стандартным формулам:

Касательная: \(y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)\)


Нормаль: \(y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}\cdot(x-x_0)\)

Чтобы найти \(x_0\) и \(y_0\) вам нужно подставить значение \(t_0=2\) в уравнения, задающие кривую. Например, для \(x_0\) получим:

\(x_0=1-t_{0}^{2}=1-2^2=-3.\)

Аналогично находим и \(y_0\). Для производной используйте такую формулу: \(y_{x}^{'}=\frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}\). Т.е. в вашем случае:

\(y_{x}^{'}=\frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}=\frac{\left(t-t^3\right)'}{\left(1-t^2\right)'}=\ldots\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

schecter

Re: Уравнение касательной и нормали

Сообщение schecter »

Добрый Волк писал(а):У вас кривая задана в параметрической форме. Уравнения касательной и нормали при этом находят по вполне стандартным формулам:

Касательная: \(y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)\)


Нормаль: \(y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}\cdot(x-x_0)\)

Чтобы найти \(x_0\) и \(y_0\) вам нужно подставить значение \(t_0=2\) в уравнения, задающие кривую. Например, для \(x_0\) получим:

\(x_0=1-t_{0}^{2}=1-2^2=-3.\)

Аналогично находим и \(y_0\). Для производной используйте такую формулу: \(y_{x}^{'}=\frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}\). Т.е. в вашем случае:

\(y_{x}^{'}=\frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}=\frac{\left(1-t^2\right)'}{\left(t-t^3\right)'}=\ldots\)

Спасибо что объяснили, а производная t-t^3 = 1-3t^2= 1-12 = -11 верно?
Вы там случайно числитель со знам. местами перепутали?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной и нормали

Сообщение Добрый Волк »

schecter писал(а): Спасибо что объяснили, а производная t-t^3 = 1-3t^2= 1-12 = -11 верно?
Вы там случайно числитель со знам. местами перепутали?
Перепутал :) Торопился. Поправил исходное сообщение. Насчет вашего вопроса с производной: желательно записывать полностью.

\(y_{t}^{'}=\left( t-t^3\right)'=1-3t^2\)

После того, как вы найдете еще \(x_{t}^{'}\) и запишете производную \(y_{x}^{'}\) в общем виде, тогда и подставляйте значение \(t_0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»