Доказать предел по определению Коши

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Доказать предел по определению Коши

Сообщение 0201400 »

Доказать предел по определению Коши
\(\lim_{x \to 1}{\frac{2x-1}{x^{2}+x+1}} = \frac{1}{3}\)
Последний раз редактировалось 0201400 12 фев 2014, 18:51, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать предел по определению Коши

Сообщение Алексей »

Сейчас попробуем, только приведу в порядок записи.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать предел по определению Коши

Сообщение Алексей »

Рассмотрим неравенство \(\left|\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{1}{3} \right|< \varepsilon\). Если упростить, получим следующее:

\(\left|\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{1}{3} \right|=\left|\frac{-x^2+5x-4}{3(x^2+x+1)}\right|=\left|\frac{x^2-5x+4}{3(x^2+x+1)}\right|\)

Далее, так как \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\), то:


\(\left|\frac{x^2-5x+4}{3(x^2+x+1)}\right|=\left|\frac{(x-1)(x-4)}{3(x^2+x+1)}\right|=|x-1|\cdot \left|\frac{x-4}{3(x^2+x+1)}\right|\)

Рассмотрим окрестность, достаточно близкую к точке 1, - например, \(|x-1|<\frac{1}{2}\). Так как в этой окрестности значения переменной положительны, т.е. \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\), то изымая из знаменателя выражение \(x+1\) увеличим дробь:

\(|x-1|\cdot \left|\frac{x-4}{3(x^2+x+1)}\right|<|x-1|\cdot \left|\frac{x-4}{3x^2}\right|=\frac{|x-1|}{3}\cdot \left|\frac{x-4}{x^2}\right|\)

Далее, так как \(|x-4|<4\) и \(x^2>\frac{1}{4}\), то:

\(\frac{|x-1|}{3}\cdot \left|\frac{x-4}{x^2}\right|<\frac{|x-1|}{3}\cdot \frac{4}{\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}\cdot |x-1|\)

Из условия \(\frac{16}{3}\cdot |x-1|<\varepsilon\), получим \(|x-1|<\frac{3\varepsilon}{16}\).

Т.е., для любого \(\varepsilon >0\) существует такое \(\delta=\frac{3\varepsilon}{16}\), что из неравенства \(|x-1|<\delta\) следует \(\left|\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{1}{3} \right|<\varepsilon\), откуда и следует утверждение задачи.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Доказать предел по определению Коши

Сообщение 0201400 »

До разложения на \((x-1)(x-4)\) мне понятно. А дальше есть вопросы.
Как получена оценка \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\)

Упс. Вопрос снимается, разобрался
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Доказать предел по определению Коши

Сообщение 0201400 »

Так как в этой окрестности значения переменной положительны, т.е. \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\), то изымая из знаменателя выражение \(x+1\) увеличим дробь
Разве это важно, ведь там модуль
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать предел по определению Коши

Сообщение Алексей »

Важно то, что переменная положительна. А значит, и выражение \(x+1>0\). Следователь, изъяв его, мы уменьшаем знаменатель. А уменьшение знаменателя означает увеличение дроби, - что и требуется.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить