Написать уравнение касательной к кривой

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Написать уравнение касательной к кривой

Сообщение 0201400 »

Написать уравнение касательной к кривой
\(x=\frac{2t+t^{2}}{1+t^{3}}, y=\frac{2t-t^{2}}{1+t^{3}}\)

Уравнение прямой включает в себя \(x_0\) и \(y_0\) -- координаты точек в которй ищем касательную. Точка, в которой нужно провести касательную к графику в задании не уточняется. Как тогда действовать?
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Написать уравнение касательной к кривой

Сообщение 0201400 »

Логично сначала найти производную параметрической функции.
\(y^{'}=\frac{y_t^{'}}{x_t^{'}}\)
Потом, взять произвольную точку \(x_0\), посчитать для неё \(y_0\). Мне хочется -1, например. Так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Написать уравнение касательной к кривой

Сообщение Алексей »

Логично, но нужно выяснить, при каких значениях параметра t получим бесконечную производную.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Написать уравнение касательной к кривой

Сообщение Алексей »

Само выражение производной здесь получить несложно, т.е.

\(y'=\frac{t^4-4t^3-2t+2}{-t^4-4t^3+2t+2}\)

Вопрос возникает относительно тех значений параметра \(t\), в которых знаменатель обращается в ноль, т.е.

\(-t^4-4t^3+2t+2=0\)

А таких значений, если верить расчётам в Маткаде, будет два: \(t_1\approx -3,9\) и \(t_2\approx 0,92\).

Т.е., в двух точках получим касательные, параллельные оси ординат. Уравнения этих касательных: \(x=x(t_1)\), \(x=x(t_2)\). Если приближенно, то эти прямые \(x=-0,13\) и \(x=1,51\).

В остальных значениях \(t=t_0\) (\(t_0\neq t_1\) и \(t_0\neq t_2\)) получим такое уравнение касательной:

\(y-\frac{2t_0-t_{0}^{2}}{1+t_{0}^{3}}=\frac{t_{0}^4-4t_{0}^3-2t_0+2}{-t_{0}^4-4t_{0}^3+2t_0+2}\cdot \left(x-\frac{2t_0+t_{0}^{2}}{1+t_{0}^{3}}\right)\)

При этом, естественно, исключается значение \(t=-1\), так как \(t^3+1=-1+1=0\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить