Полное исследование функции

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
natali12

Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

Провести полное исследование функции \(y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) . Построить график. Составить уравнения касательной и нормали в точке \(x_{0}\) , изобразить на чертеже.
Если нужны точки прохождения: М1 (1; -2), М2 (-1;0), М3 (2; -4,5), М4 (3;0)
Спасибо за помощь)

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Алексей »

Насколько я понимаю, в первую очередь вам нужно найти неизвестные коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Для их нахождения используйте тот факт, что график проходит через заданные точки. Например, то, что график проходит через точку \(M_1(1;-2)\), означает, что подставляя \(x=1\) и \(y=2\) в равенство \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) мы получим:


\(a\cdot{1^3}+b\cdot{1^2}+c\cdot{1}+d=-2\)


\(a+b+c+d=-2\)


Таким образом вы получите систему из четырех линейных уравнений с четырьмя переменными, которую решите методом Гаусса. А далее уже продолжим решение :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"



Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Алексей »

Вы проделали хорошую работу :) Ответы я проверил, всё точно. Только в ответах у вас не \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), а значения \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Итак, заданная функция имеет такой вид:

\(y=x^3-2.5x^2-2x+1.5\)

Далее, насколько я понимаю, вам нужно исследовать функцию по стандартной схеме, выданной преподавателем. Вам преподаватель давал схему для исследования функции?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

Нет. Я заочник на 1 курсе. и у нас была только установочная сессия. на ней дали только объяснение решения матриц. А про функции со школы я нечего, к сожалению, не помню

Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Алексей »

Я вас понял. Могу вам предложить свою схему исследования, согласны?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1574
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Алексей »


\(f(x)=x^3-2.5x^2-2x+1.5\)


Самый первый пункт: область определения. Тут особо ничего интересного нет, так как выражение \(x^3-2.5x^2-2x+1.5\) является банальным многочленом. Никаких ограничений на значения \(x\) не накладывается.



Область определения

Область определения: \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\). Функция непрерывна на всей области определения.

Следующий пункт: проверка, является ли функция чётной или нечётной.


Проверка на чётность

Область определения данной функции симметрична относительно нуля. Следовательно, остаётся найти \(f(-x)\). Если выяснится, что \(f(-x)=f(x)\), то заданная функция - чётная. Если \(f(-x)=-f(x)\), то заданная функция - нечётная. Если же ни одно из условий не выполнено, то функция будет ни чётной ни нечётной.
Например, исследование на чётность для функции \(g(x)=5x^4+x^2\) будет таким:

\(g(-x)=5(-x)^4+(-x)^2=5x^4+x^2=g(x)\)

Так как \(g(-x)=g(x)\), то функция \(g(x)\) - чётная.
Следующий пункт: пересечение графика функции с осями координат.


Пересечение графика функции с осями координат

Ось \(Oy\) имеет уравнение \(x=0\). Таким образом, чтобы найти точку пересечения графика с осью \(Oy\), нужно подставить \(x=0\) в функцию \(f(x)\):


\(f(0)=\ldots\)


Ось \(Ox\) имеет уравнение \(y=0\). Поэтому чтобы найти точки пересечения с осью \(Oy\) нужно решить уравнение \(f(x)=0\). Иными словами, решить такое уравнение:


\(x^3-2.5x^2-2x+1.5=0\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

Проверьте, пожалуйста, все ли правильно я посчитала? И на этом решение окончено? :)
Изображение
Изображение

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»