Полное исследование функции

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Добрый Волк »

С чётностью не очень получилось. Вот значение \(-f(x)\):

\(-f(x)=-x^3+2.5x^2+2x-1.5\)

А вот выражение для \(f(-x)\), которое, кстати, вы нашли совершенно верно:

\(f(-x)=-x^3-2.5x^2+2x+1.5\)

Как видите, \(f(-x)\neq{-f(x)}\), т.е. ни о какой нечётности тут речи нет. Впрочем, и о четности тоже, так как \(f(-x)\neq{f(x)}\). Таким образом, делаем вывод, что функция ни чётная ни нечётная.

Пересечение с осями Вы исследовали героически :) Действительно, \(f(0)=1.5\), т.е. график пересекает ось Oy в точке \((0; 1.5)\). Пересечение с осью Ox найдено верно. Я все решение дотошно не просматривал, но ответ верен: график пересекает ось Ox в точках \((-1;0)\), \((3;0)\), \((0.5; 0)\). Однако решение у вас несколько длинновато :) Насколько я понимаю, вы сразу заметили, что \(x=-1\) - корень уравнения \(x^3-2.5x^2-2x+1.5=0\). Чтобы найти остальные корни, проще было разделить многочлен \(x^3-2.5x^2-2x+1.5\) на бином \(x+1\), пользуясь, например, схемой Горнера. После применения схемы Горнера Вы получили бы следующее:

\(f(x)=(x+1)\left( x^2-\frac{7x}{2}+\frac{3}{2}\right)\)

Ну, и найдя остальные два корня, получим следующее:

\(f(x)=(x+1)\cdot(x-3)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)\)

Зачем это нужно? А вот зачем: чтобы дать ответ на вопрос следующего пункта исследования.



Интервалы знакопостоянства


В этом пункте нас будет интересовать вопрос: на каких интервалах \(f(x)>0\), и на каких интервалах \(f(x)<0\). Вы получите ответ на этот вопрос после решения простенького неравенства:

\((x+1)\cdot(x-3)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)>0\)

Проще всего применить метод интервалов. Ответ должен быть в такой форме:
  1. Если \(x\in\ldots\), то \(f(x)>0\).
  2. Если \(x\in\ldots\), то \(f(x)<0\).

После этого пункта наступает черёд следующего. В принципе, его можно и в самом конце сделать. Это зависит от используемой схемы исследования.



Асимптоты


Так как функция непрерывна при всех \(x\in{R}\), то вертикальных асимптот нет. Уравнение наклонных асимптот ищем в форме \(y=kx+b\). Угловой коэффициент \(k\) определяем по такой формуле:

\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\ldots\)


И после этого останется всего 2 пункта, которые, обещаю, будут несложными :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

я посчитала все интервалы. и дошла до асимптот. но не могу теперь понять, что именно брать за х и за f(х) :(
Изображение

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Добрый Волк »

Интервалы вы нашли почти верно - есть только одно дополнение. Дело в том, что нас интересуют строгие неравенства \(f(x)>0\) и \(f(x)<0\). Именно поэтому значения, в которых \(f(x)=0\) мы исключаем. Таким образом, например, вместо \([-1; 0.5)\) должно быть записано \((-1; 0.5)\), т.е. концы интервалов включать не надо.

Насчет асимптот я не совсем понял ваш вопрос. Так как \(f(x)=x^3-2.5x^2-2x+1.5\), то в качестве выражения для \(f(x)\) мы берём \(x^3-2.5x^2-2x+1.5\). Таким образом, для искомого предела получим:


\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-2.5x^2-2x+1.5}{x}=\ldots\)


Чтобы найти данный предел нужно почленно разделить числитель на знаменатель.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

я посчитала асимптоты. Проверьте, пожалуйста. И подскажите, что дальше делать :)
Изображение
Изображение

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Добрый Волк »

У вас ошибки в записи. Зачем убирать целые куски выражения? А запись \(\infty^2\) мне кажется просто безвкусицей из методичек для заочников. Вот вполне стандартная запись:

\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(x^2-2.5x-2+\frac{1.5}{x}\right)=\infty\)

Далее нужно сделать два пункта.

Монотонность и экстремумы

Находим \(y'\) и решаем уравнение \(y'=0\). Вы получите два значения: \(x_1\) и \(x_2\), которые называются стационарными точками. Стационарные точки разобьют область определения на три интервала, и вам нужно выяснить знак \(y'\) на каждом из интервалов. Если \(y'<0\), то на соответствующем интервале функция убывает; если же \(y'>0\), то на рассматриваемом интервале функция возрастает. Характер экстремума функции в стационарной точке можно определить исходя из смены знака \(y'\) при переходе через данную точку.



Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Находим \(y''\) и решаем уравнение \(y''=0\). Вы получите одно значение \(a\), которое разобьёт область определения на два интервала. Вам нужно выяснить знак \(y''\) на каждом из интервалов. Если \(y''<0\), то на соответствующем интервале график выпуклый; если же \(y''>0\), то на рассматриваемом интервале график вогнутый. Смена знака \(y''\) при переходе через точку \(a\) будет означать наличие перегиба в данной точке.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

я, вроде, все посчитала. проверьте, пожалуйста. И обрадуйте меня, что на этом задача кончается :D
Изображение
Изображение

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Добрый Волк »

Преобразования у вас выполнены верно, но выводы и формулировки нужно пересмотреть. Например, "критическая точка минимума" - это звучит как "человек студент" :) Т.е. вполне достаточно словосочетания "точка минимума". Дело в том, что точки, в которых \(y'=0\) или \(y'\) не существует именуют критическими. Точки минимума и максимума составляют подмножество критических точек. Кстати, отмечу и такой момент: концы интервалов монотонности, а также выпуклости и вогнутости не включаются.

Если вкратце, то оформление будет таким:

\(y'=3x^2-5x-2\),
\(3x^2-5x-2=0\), \(x_1=-\frac{1}{3}\), \(x_2=2\).

Так как при \(x\in\left(-\infty;-\frac{1}{3} \right)\cup(2;+\infty)\) имеем \(y'>0\), то на данном множестве функция возрастает. Так как при \(x\in\left(-\frac{1}{3};2\right)\) имеем \(y'<0\), то на данном множестве функция убывает. При этом исходя из перемен знака \(y'\) можно сразу сделать вывод, что \(x=-\frac{1}{3}\) - точка максимума, \(x=2\) - точка минимума. При этом экстремумы будут такими:

\(y_{\max}=y\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{50}{27}\), \(y_{\min}=y(2)=-\frac{9}{2}\)

Что же касаемо выпуклости и вогнутости, то здесь вы верно определили, что \(y''=6x-5\). При этом из равенства \(y''=0\) имеем \(x=\frac{5}{6}\). Исходя из знака \(y''\) имеем: при \(x\in\left(-\infty;\frac{5}{6}\right)\) график выпуклый; при \(x\in\left(\frac{5}{6};+\infty\right)\) график вогнутый. При этом точка \(\left(\frac{5}{6};-\frac{143}{108}\right)\) является точкой перегиба.

График примерно будет таким:

Отправка.png
Отправка.png (15 КБ) 2092 просмотра

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

natali12

Re: Полное исследование функции

Сообщение natali12 »

Это точно, наконец, конец этой задачи?))
Если да, то спасибо Вам огромное за помощь)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1573
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полное исследование функции

Сообщение Добрый Волк »

Да, это окончание задачи.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»