задача оптимизации

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
anya_prya
Сообщения: 5
Зарегистрирован: 24 окт 2017, 19:17

задача оптимизации

Сообщение anya_prya »

Для упаковки деталей на фабрике изготавливают фанерные ящики с крышкой. Длина основания которого в 2 раза больше ширины. Каковы должны быть размеры ящиков, чтобы на их изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем ящика = 9куб. дм?
Я решила задачу. но я боюсь, что преподаватель не примет такое решение.
я просто подобрала.
3*1,5*2=9 дм2
Где: 3 дм- длина
1,5 дм - ширина
2 дм - высота
Помогите разобраться, как правильно написать решение задачи

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: задача оптимизации

Сообщение Добрый Волк »

Такие задачи не решаются подбором :) Здесь нужно составить некую функцию, после чего найти её минимум.

Для начала введём обозначения. Пусть ширина основания равна \(x\). Тогда длина основания, которая по условию в два раза более ширины, будет равна \(2x\). Высоту ящика обозначим как \(y\). Объём коробки \(V=x\cdot{2x}\cdot{y}=2x^2y\). Согласно условию, \(V=9\), поэтому имеем \(2x^2y=9\). Разумеется, в этой формуле все переменные положительны, т.е. \(x>0\), \(y>0\).

Выражая \(y\) из формулы \(2x^2y=9\) будем иметь: \(y=\frac{9}{2x^2}\). Теперь обратимся к условию задачи. Нам нужно минимизировать количество материала для изготовления ящика. Иными словами, нужно минимизировать площадь поверхности ящика. Площадь основания равна \(S_1=x\cdot{2x}=2x^2\). Площади боковых стенок будут такими: \(S_2=x\cdot{y}\), \(S_3=2xy\). Суммарная площадь ящика:

\(S=2\cdot(S_1+S_2+S_3)=4x^2+2xy+4xy=4x^2+6xy\)

Подставляя в эту формулу \(y=\frac{9}{2x^2}\) Вы получите некую функцию от \(x\). Ваша задача - исследовать эту функцию средствами дифференциального исчисления и найти минимальное значение данной функции.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

anya_prya
Сообщения: 5
Зарегистрирован: 24 окт 2017, 19:17

Re: задача оптимизации

Сообщение anya_prya »

добрый вечер. Извините, за поздний ответ.
Хотелось бы уточнить: \(y=\frac{9}{x^{2}}\) - Вы уверенны в этом?
Просто мне кажется, что должно быть так: \(y=\frac{9}{2x^{2}}\)
Если я не права, то пожалуйста, объясните, где моя ошибка?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: задача оптимизации

Сообщение Добрый Волк »

Да, опечатка вышла. Поправил предыдущее сообщение.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»