Найти предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x \to 0} \ctg x \cdot \ln (x+e^x)\)
Подставляю x в уравнение получается, что ctg не определен. С помощью замечательного предела можно решить? Какой книгой можно воспользоваться, что бы можно было решить любой предел? Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Тут можно применить правило Лопиталя:

\(
\lim_{x\to{0}}\left(\ctg{x}\cdot\ln\left(x+e^x\right)\right)
=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\left(x+e^x\right)}{\tg{x}}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln\left(x+e^x\right)\right)'}{\left(\tg{x}\right)'}
=\ldots
\)

Насчёт книги: попробуйте Каплан, "Практикум по решению задач".
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Найти предел

Сообщение kicul »

\(\lim_{x\to{0}}\left(\ctg{x}\cdot\ln\left(x+e^x\right)\right)=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\left(x+e^x\right)}{\tg{x}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln\left(x+e^x\right)\right)'}{\left(\tg{x}\right)'}=\frac{\frac{(x+e^x)'}{x+e^x}}{(tg x)'}=\frac{\frac{1+e^x}{x+e^x}}{\frac{1}{cos x}}=\frac{(1+e^x)\cdot cos x}{x+e^x}=2\) Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Учтите, что \((\tg{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}\). И восстановите пропущенные знаки \(\lim\) в вашем решении.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить