Страница 1 из 1

Доказать лемму

Добавлено: 26 май 2019, 21:53
New-Man
Помогите пожалуйста доказать лемму, а то у меня не очень с доказательствами

Re: Доказать лемму

Добавлено: 27 май 2019, 00:26
Алексей
Честно говоря, трудновато разглядеть знак в знаменателе. Можете прикрепить читаемый скриншот? Или наберите в редакторе формул.

Re: Доказать лемму

Добавлено: 27 май 2019, 09:24
New-Man
\(\ln\frac{k^{2}}{k^{2}-x^{2}}\leq \frac{x^{2}}{k^{2}-x^{2}}\)

Re: Доказать лемму

Добавлено: 27 май 2019, 12:46
Алексей
Ваше неравенство можно переписать так:

\(
\ln\left(1+\frac{x^2}{k^2-x^2}\right) \le\frac{x^2}{k^2-x^2}
\)

Обозначая \(t=\frac{x^2}{k^2-x^2}\), \(t\ge{0}\), придём к такому неравенству: \(t-\ln(1+t)\ge{0}\). Это неравенство доказывается стандартным способом: рассмотрите функцию \(f(t)=t-\ln(1+t)\) при условии \(t\ge{0}\) и покажите, что она убывает при \(t\gt{0}\). А далее, опираясь на значение \(f(0)\), делаете вывод относительно знака \(f(t)\).

Re: Доказать лемму

Добавлено: 27 май 2019, 13:05
New-Man
Благодарю