Правило Лопиталя

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
deadbox

Правило Лопиталя

Сообщение deadbox »

День добрый! Прошу Вашей подсказки! \(\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{\sqrt{2+x}+x}\). Подставил сразу -1 и получил под корнем отрицательное число. Слышал, что, если корень нечётный, тогда можно выносить - за пределы корня. Хорошо, если так. Тогда получим неопределённость 0/0. Дальше пользуемся правилом Лапиталя и получаем такой предел \(\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt{1+2x}+2}{\frac{1}{\sqrt{2+x}}+2}\). Далее вопрос! Теперь у нас корень чётный и под корнем получилось отрицательное число. Что дальше? Ещё раз применить правило Лапиталя? Или я может быть уже с самого начала неправильно начал решать?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1607
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Правило Лопиталя

Сообщение Алексей »

deadbox писал(а): 29 апр 2020, 10:17 Подставил сразу -1 и получил под корнем отрицательное число. Слышал, что, если корень нечётный, тогда можно выносить - за пределы корня.
Не совсем понял смысла в "вынесении - за знак корня". Так как \((-1)^3=-1\), то \(\sqrt[3]{-1}=-1\). В заданном пределе имеется неопределённость вида \(\frac{0}{0}\). Осталось лишь правильно найти производные числителя и знаменателя. У вас они вычислены неверно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
deadbox

Re: Правило Лопиталя

Сообщение deadbox »

Ну ведь не бывает же отрицательного корня? Или всё таки бывает? Я вот к чему! Ладно корень 3 степени. А как быть с корнем квадратным? Как быть с отрицательным числом под ним? А что касается производных... Да вроде правильно. Я сейчас пересчитал.У нас ведь такая формула для Лопиталя \(\lim_{}\frac{f(x)'}{g(x)'}\)! Тогда где я ошибся в производной?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1607
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Правило Лопиталя

Сообщение Алексей »

Если мы ведём речь о действительных числах, то корень чётного порядка из отрицательного числа действительно не извлекается. А корень нечётного порядка из отрицательного числа вполне можно извлечь.

Насчёт производных - вы ошиблись и в числителе, и в знаменателе.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
deadbox

Re: Правило Лопиталя

Сообщение deadbox »

\(\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{\sqrt{2+x}+x}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\frac{2}{3\sqrt{(1+2x)^{2}}}}{\frac{1}{2\sqrt{2+x}}+1}\)
Действительно, было неправильно. Теперь же вроде бы правильно? И после этого можно спокойно подставить -1 и получится ответ \(\frac{4}{9}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1607
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Правило Лопиталя

Сообщение Алексей »

Вроде так.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить