Доопределить x^x
Доопределить x^x
Можно ли доопределить в нуле \(x^x\) так, чтобы она была непрерывной и диффренцируемой?
Re: Доопределить x^x
Здесь можно вести речь только о непрерывности и дифференцируемости справа, так как область определения заданной функции есть \(x>0\). Для того, чтобы функция была непрерывной в точке 0 справа, нужно доопределить её так, чтобы \(\lim_{x\to 0+0}f(x)=f(x_0)\).
\(\lim_{x\to 0+0}f(x)=\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}\).
Теперь нужно обратиться к пределу \(\lim_{x\to 0+0}x\ln x\).
Попробуете сами вычислить или помочь с его решением?
\(\lim_{x\to 0+0}f(x)=\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}\).
Теперь нужно обратиться к пределу \(\lim_{x\to 0+0}x\ln x\).
Попробуете сами вычислить или помочь с его решением?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Доопределить x^x
Решил. Можно ввести t=1/x и решать. Применить правило Лопиталя и будет 0
Re: Доопределить x^x
Вы усложняете Гораздо проще перекинуть \(x\) в знаменатель и решать правилом Лопиталя без замены:
\(\lim_{x\to 0+0}x\ln x=\lim_{x\to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0+0}(-x)=0\).
Т.е., \(\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}=e^0=1\).
Поэтому можно "доопределить" функцию так, чтобы \(f(0)=1\). Непрерывность справа будет соблюдена.
\(\lim_{x\to 0+0}x\ln x=\lim_{x\to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0+0}(-x)=0\).
Т.е., \(\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}=e^0=1\).
Поэтому можно "доопределить" функцию так, чтобы \(f(0)=1\). Непрерывность справа будет соблюдена.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Доопределить x^x
Спасибо.
Re: Доопределить x^x
Всегда пожалуйста кстати, с дифференцируемостью тут вроде вопрос поинтереснее. Похоже, что даже для "доопределенной функции" производная будет бесконечно большой.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Доопределить x^x
Это как то нужно отметить в решении или это просто мысли о "вещах поинтереснее"?
Re: Доопределить x^x
Можно отметить в решении... По сути, мы говорим уже о "доопределённой" функции, для которой \(f(x)=x^x\) при \(x>0\) и \(f(x)=1\) при \(x=0\). Тогда в нуле производная получится примерно так:
\(\lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{\Delta x^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\infty\)
Если точнее, то предел будет равен \(-\infty\). Как-то так...
\(\lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{\Delta x^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\infty\)
Если точнее, то предел будет равен \(-\infty\). Как-то так...
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"