Доопределить x^x

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Доопределить x^x

Сообщение 0201400 »

Можно ли доопределить в нуле \(x^x\) так, чтобы она была непрерывной и диффренцируемой?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доопределить x^x

Сообщение Алексей »

Здесь можно вести речь только о непрерывности и дифференцируемости справа, так как область определения заданной функции есть \(x>0\). Для того, чтобы функция была непрерывной в точке 0 справа, нужно доопределить её так, чтобы \(\lim_{x\to 0+0}f(x)=f(x_0)\).

\(\lim_{x\to 0+0}f(x)=\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}\).

Теперь нужно обратиться к пределу \(\lim_{x\to 0+0}x\ln x\).

Попробуете сами вычислить или помочь с его решением?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Доопределить x^x

Сообщение 0201400 »

Решил. Можно ввести t=1/x и решать. Применить правило Лопиталя и будет 0
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доопределить x^x

Сообщение Алексей »

Вы усложняете :) Гораздо проще перекинуть \(x\) в знаменатель и решать правилом Лопиталя без замены:

\(\lim_{x\to 0+0}x\ln x=\lim_{x\to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0+0}(-x)=0\).

Т.е., \(\lim_{x\to 0+0}x^x=\lim_{x\to 0+0}e^{x\ln x}=e^0=1\).

Поэтому можно "доопределить" функцию так, чтобы \(f(0)=1\). Непрерывность справа будет соблюдена.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Доопределить x^x

Сообщение 0201400 »

Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доопределить x^x

Сообщение Алексей »

Всегда пожалуйста :) кстати, с дифференцируемостью тут вроде вопрос поинтереснее. Похоже, что даже для "доопределенной функции" производная будет бесконечно большой.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: Доопределить x^x

Сообщение 0201400 »

Это как то нужно отметить в решении или это просто мысли о "вещах поинтереснее"? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доопределить x^x

Сообщение Алексей »

Можно отметить в решении... По сути, мы говорим уже о "доопределённой" функции, для которой \(f(x)=x^x\) при \(x>0\) и \(f(x)=1\) при \(x=0\). Тогда в нуле производная получится примерно так:

\(\lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{\Delta x^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\infty\)

Если точнее, то предел будет равен \(-\infty\). Как-то так...
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить