Найти предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Найти предел

Сообщение Adriana »

Найти предел
\(\lim_{n->\infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^{2}-k^{2}}\)
Подскажите, пожалуйста, как это делать...
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1607
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Это задача на вычисление предела с помощью определённого интеграла.

Если записать заданный предел вот так:

\(
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2}
=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2},
\)

то можно заметить, что выражение \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}\) есть интегральная сумма функции \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) на отрезке \([0;1]\) при условии того, что отрезок делится на \(n\) равных частей. Соответственно, предел данной суммы будет равен определённому интегралу от функции \(f(x)\) на указанном отрезке.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Найти предел

Сообщение Adriana »

Разобралась, спасибо большое, всё понятно)
Ответить