Страница 1 из 1

Найти предел

Добавлено: 22 апр 2021, 22:30
Adriana
Найти предел
\(\lim_{n->\infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^{2}-k^{2}}\)
Подскажите, пожалуйста, как это делать...

Re: Найти предел

Добавлено: 23 апр 2021, 08:33
Алексей
Это задача на вычисление предела с помощью определённого интеграла.

Если записать заданный предел вот так:

\(
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2}
=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2},
\)

то можно заметить, что выражение \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}\) есть интегральная сумма функции \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) на отрезке \([0;1]\) при условии того, что отрезок делится на \(n\) равных частей. Соответственно, предел данной суммы будет равен определённому интегралу от функции \(f(x)\) на указанном отрезке.

Re: Найти предел

Добавлено: 23 апр 2021, 11:47
Adriana
Разобралась, спасибо большое, всё понятно)