Исследовать функцию и построить график

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Алексей »

Виктория24 писал(а):а b чему равно будет здесь тогда? и это получается единственная ассимптота?
Да, это будет единственная асимптота. Насчёт b выйдет так:

\(b=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-kx \right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3-4x}{5-3x^2}+\frac{1}{3}\cdot x \right)=\lim_{x\to\infty}\frac{7x}{9x^2-15}\)

Попробуйте здесь тоже разделить на старшую степень х, и вы получите очень неплохой ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Виктория24 »

b=1/9 я так понимаю.
y=-1/3x+1/9 ассимптота
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Алексей »

Почти верно :) Только не \(\frac{1}{9}\), а \(\frac{0}{9}=0\). Посудите сами:

\(b=\lim_{x\to\infty}\frac{7x}{9x^2-15}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{7x}{x^2}}{\frac{9x^2}{x^2}-\frac{15}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{7}{x}}{9-\frac{15}{x^2}}=\frac{0}{9-0}=0.\)

Короче говоря, так как \(k=-\frac{1}{3}\), \(b=0\), то имеем единственную асимптоту \(y=-\frac{1}{3}x\). Как-то так... Если что неясно - спрашивайте :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Виктория24 »

ясно всё, невнимательность подвела)
вопрос по убыванию и возрастанию. производная у меня (-3х^4+3x^2-20)/(5-3x^2)^2 Так как корней нет, и функция убывает на всей области определения, то не будет ни точки минимума, ни максимума?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Алексей »

Виктория24 писал(а):ясно всё, невнимательность подвела)
вопрос по убыванию и возрастанию. производная у меня (-3х^4+3x^2-20)/(5-3x^2)^2 Так как корней нет, и функция убывает на всей области определения, то не будет ни точки минимума, ни максимума?
Точно. Будет убывать на всей области определения, так как производная меньше нуля на всей области определения. Никаких минимумов или максимумов и близко нет. А со второй производной у вас получилось?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Виктория24 »

вторая производная 42х(х^2+5)/(3x^2-5)^3 не поняла почему три критические точки x=0, и если x^2+5=0, x^2= -5, снова корней нет. т.е в итоге корень один x=0 или я ошибаюсь?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Алексей »

Виктория24 писал(а):вторая производная 42х(х^2+5)/(3x^2-5)^3 не поняла почему три критические точки x=0, и если x^2+5=0, x^2= -5, снова корней нет. т.е в итоге корень один x=0 или я ошибаюсь?
Здесь просто есть различная терминология. Стационарные точки - это те, в которых производная равна нулю. Таких точек в у вас действительно только одна: \(x=0\). А вот критические точки - это те, где производная равна нулю или не существует. А таких точек уже три штуки, т.е. \(x=0\), \(x=\sqrt{\frac{5}{3}}\) и \(x=-\sqrt{\frac{5}{3}}\). Именно эти точки нужно нарисовать на числовой оси. Эти три точки разобьют всю ось на 4 интервала. После этого нужно найти знак второй производной на каждом интервале.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Виктория24 »

для того, чтобы найти знак второй производной на каждом интервале нужно будет подставить значение из интервала в формулу второй производной как я понимаю? после этого график уже можно будет построить?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Алексей »

Виктория24 писал(а):для того, чтобы найти знак второй производной на каждом интервале нужно будет подставить значение из интервала в формулу второй производной как я понимаю? после этого график уже можно будет построить?
Совершенно верно понимаете :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Исследовать функцию и построить график

Сообщение Виктория24 »

попробую построить график самостоятельно(завтра) и выложу для корректировки, если возможно?
Ответить