Исследовать на дифференцируемость функцию

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Исследовать на дифференцируемость функцию

Сообщение Adriana »

Добрый вечер. Подскажите, пожалуйста, как действовать...
При всех \(\left ( x,y \right ) \in R^{2}\) исследовать на дифференцируемость функцию
\(f\left ( x,y \right ) = \left\{\begin{aligned}
& \ln\left ( 1+x^{2} + y^{4}\right )\cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\; \; \text{при} \; \; \; \left ( x,y \right )\neq\left ( 0,0 \right );\\
& 0 \; \;\text{при} \; \; \left ( x,y \right )= \left ( 0,0 \right ).
\end{aligned}\right.\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1607
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на дифференцируемость функцию

Сообщение Алексей »

Насколько я понимаю, тут вопрос именно в дифференцировании в точке \((0;0)\) - эту точку нужно рассмотреть отдельно. В остальных точках частные производные непрерывны, поэтому функция дифференцируема.


Функция будет дифференцируемой в точке \((0;0)\), если для её приращения в этой точке выполняется такое равенство:

\(
\Delta f(0;0)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)\cdot\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(0;0)\cdot\Delta{y}+o(\rho).
\)

Здесь \(\rho=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}\).

Что касается частных производных, то найти их несложно. Для этого удобно использовать такую формулу:

\(
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0;y_0)
=\left. \frac{\partial}{\partial{x}}f(x;y_0)\right|_{x=x_0}
\)

Формула для \(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0;y_0)\) записывается аналогично. Таким образом, в точке \((0;0)\) будем иметь:

\(
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)
=\left. \frac{\partial}{\partial{x}}f(x;0)\right|_{x=0}
\)

В данном случае \(f(x,0)=\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac{1}{x^2}\) при \(x\neq{0}\) и \(f(x,0)=0\) при \(x=0\). Таким образом, нужно найти производную функции одной переменной в точке \(x=0\):

\(u(x)=\left\{\begin{aligned}&\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac{1}{x^2};\;x\neq{0};\\& 0;\;x=0. \end{aligned}\right.\)

Для отыскания \(u'(0)\) можно использовать определение производной:

\(
u'(0)
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{u(0+\Delta{x})-u(0)}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\ln\left(1+\Delta{x}^2\right)\cos\frac{1}{\Delta{x}^2}}{\Delta{x}}
\)

Так как функция \(\frac{\ln\left(1+\Delta{x}^2\right)}{\Delta{x}}\) является бесконечно малой (докажите это самостоятельно, например, с помощью эквивалентностей), а функция \(\cos\frac{1}{\Delta{x}^2}\) - ограниченная, то их произведение - есть функция бесконечно малая, т.е. \(u'(0)=0\). Итак, \(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)=0\).

Аналогично проверьте, что \(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(0;0)=0\) и запишите первую формулу для \(\Delta f(0;0)\) с учётом полученных результатов.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Исследовать на дифференцируемость функцию

Сообщение Adriana »

Спасибо большое, разобралась.
Ответить