Проверьте, пожалуйста, моё решение

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.
anna_06
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 18 май 2014, 17:34

Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение anna_06 »

Добрый день, уважаемые форумчане!
Не могли бы вы проверить моё решение? Извините за оформление.

Дана функция z = f(x, y). Найти частные производные
первого и второго порядка
z = cos(2xy)
Мое решение:
Производные 1 порядка:
f по x=2y(-sin2xy*2y)=-(4y^2)*sin2xy
f по y =2x(cos2xy)=2x(-sin2xy*2x=-4x^2sin2xy
Производные 2 порядка:
f по xx = (-4y^2 sin 2xy)=-4y^2(cos2xy*2x)=-4y^2*2xcos2xy
f по yy = (-4x^2sin2xy)=-4x^2cos2xy*2x=-4x^2*2x*cos2xy
f по yx = -4x^2*sin2xy=(-4 *(2x)*(cos2xy*2y)=-8x*2y*cos2xy
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение Алексей »

Добрый день! Проверить можем, это быстро.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение Алексей »

Итак, вы малость усложнили себе работу :) Вот, например, первая производная, т.е. \(z_{x}^{'}\). Имеем:

\(z_{x}^{'}=\left(\cos(2xy) \right)_{x}^{'}\)

Теперь работаем с формулой №10 из таблицы производных, т.е. \((\cos u)'=-\sin u\cdot u'\), только в нашем случае \(u=2xy\):


\(z_{x}^{'}=\left(\cos(2xy) \right)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot (2xy)_{x}^{'}\)

Так как мы берем производную по переменной \(x\), то переменную \(y\) полагаем константой (числом, попросту говоря), поэтому \(2y\) можно смело выносить за знак производной \((2xy)_{x}^{'}\), получая при этом:

\(z_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot (2xy)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot (x)_{x}^{'}\)

Так как \((x)_{x}^{'}=1\), то решение заканчивается:

\(z_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot (x)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot 1=-2y\sin(2xy)\)

Попробуйте по аналогии найти и \(z_{y}^{'}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
anna_06
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 18 май 2014, 17:34

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение anna_06 »

Спасибо большое!
У меня получилось \({z_{y}}'=-2x\cdot sin(2xy)\)
Получается, я два раза выносила константы за скобку, да? Я так поняла свою ошибку.
Помогите, пожалуйста, как находить остальные производные. Чтобы найти \({z_{xx}}''\) мне нужно вычислить производную из \({z^{_{x}}}'\), подразумевая, что y - константа?
Вот я попробовала перерешать. Правильно?
\(-4y^{2}cos2xy\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение Алексей »

anna_06 писал(а): Получается, я два раза выносила константы за скобку, да? Я так поняла свою ошибку.
Вы совершенно верно поняли :yes: И производную \(z_{xx}^{''}\) тоже нашли верно, т.е. \(z_{xx}^{''}=-4y^2\cos(2xy)\). Ну, и \(z_{y}^{'}\) тоже найдена верно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
anna_06
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 18 май 2014, 17:34

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение anna_06 »

Спасибо!
Дорешала остальные. Вот. что получилось:
\({z_{yy}}''= -2x(cos2xy)\cdot 2x\cdot 1=-4x^{2}cos2xy\)
Немного не поняла, как вот это решать. Вроде решила, но, по-моему, опять что-то напутала:
\({z_{yx}}''=-{(2x)}'\cdot (cos2xy\cdot 2y\cdot {x_{x}}'= -2ycos2xy.\)
Нужно ли брать производную от 2 и от x или просто вынести 2 и взять производную от x? Я вынесла 2 за скобку в самом начале решения и вот что у меня получилось во второй раз:
\({z^{_{yx}}}''=\)\(-4ycos2xy\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение Алексей »

С производной \(z_{yy}^{''}\) все в норме, она действительно равна \(-4x^2\cos(2xy)\). Вот с \(z_{xy}^{''}\) уже возникают вопросы (кстати, для вашей функции \(z_{xy}^{''}=z_{yx}^{''}\)). Запись \(z_{xy}^{''}\) означает, что от производной по \(x\) взяли еще раз производную, но на этот раз по \(y\):

\(z_{xy}^{''}=\left(z_{x}^{'} \right)_{y}^{'}\)

А так как \(z_{x}^{'}=-2y\sin(2xy)\), то:

\(z_{xy}^{''}=\left(-2y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}=-2\cdot \left(y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}\)

Однако вынести \(y\) за скобки мы уже не можем, так как \(y\) - это переменная, а за знак производной можно выносить лишь константы (т.е. те величины, которые не содержат переменных). Здесь надо использовать формулу \(\left(u\cdot v \right)'=u'v+uv'\):

\(z_{xy}^{''}=-2\cdot \left(y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}=-2 \left( (y)_{y}^{'}\sin(2xy)+y(\sin(2xy))_{y}^{'} \right)\)

Ну, а дальше уже останется только найти производные в скобках.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
anna_06
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 18 май 2014, 17:34

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение anna_06 »

Спасибо огромное! Без вас бы не разобралась :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение

Сообщение Алексей »

Всегда пожалуйста, обращайтесь, если что :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить