Найти точки экстремума функции.

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Найти точки экстремума функции.

Сообщение lecture »

Найти точки экстремума функции z=x^2-8xy+8y^2+3

1. Найдем частные производные.
∂z/∂x = 2•x-8•y
∂z/∂y = -8•x+16•y
2. Решим систему уравнений.
2•x-8•y = 0
-8•x+16•y = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = 4•y
-16•y = 0
Откуда y = 0
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 0
Количество критических точек равно 1.
M1(0;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.
∂^2z/∂x∂y = -8
∂^2z/∂x2 = 2
∂^2z/∂y2 = 16
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;0)
A = ∂^2z/∂x2(0;0) = 2
C = ∂^2z/∂y2(0;0) = 16
B = ∂^2z/∂x∂y(0;0) = -8
AC - B^2 = -32 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: Глобального экстремума нет.

Подскажите, это верное решение?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение Алексей »

Решение верное, но есть одна оговорка, - скорее по форме, нежели по сути.
lecture писал(а): 3. Найдем частные производные второго порядка.
∂^2z/∂x∂y = -8
∂^2z/∂x2 = 2
∂^2z/∂y2 = 16
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
У вас значения частных производных постоянны. Т.е., например, \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=-8\) во всех точках области определения, - в том числе и в точке \((0;0)\). Нет необходимости указывать значение \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\) отдельно в некоей точке, так как это значение во всех точках одинаково и равно -8.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение lecture »

То есть находим частные производные 2-го порядка (п.3), а в критических точках ИСКАТЬ не надо (т.е. п. 4 убираем совсем?)?

А нужно указывать "AC - B2 = -32 < 0, то глобального экстремума нет."?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение Алексей »

lecture писал(а):То есть находим частные производные 2-го порядка (п.3), а в критических точках ИСКАТЬ не надо (т.е. п. 4 убираем совсем?)?

А нужно указывать "AC - B2 = -32 < 0, то глобального экстремума нет."?
Да, в критических точках искать их не надо, потому что они уже найдены - для всех точек, в том числе и для критических. Для сравнения гляньте примеры №2 и №3 на этой странице. В примере №2, как и в вашем примере, производные второго порядка постоянны. А вот в примере №3 уже требуется находить их значение в каждой стационарной точке.

Значение \(AC-B^2\) найти нужно, потому что в зависимости от этого значения мы и даём ответ: есть экстремум или же его нету.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение lecture »

Спасибо.
Т.е. вычисление значений этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0) не требуется.
А это нужно указывать в решении?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение Алексей »

lecture писал(а):А это нужно указывать в решении?
Полагаю, что нет. По крайней мере, мне не попадалось ни одного решебника, где бы это указывалось. Т.е., это не ошибка, а просто лишнее действие. Приводить его отдельно не нужно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Найти точки экстремума функции.

Сообщение lecture »

Спасибо.
Ответить