Насколько я понимаю, тут вопрос именно в дифференцировании в точке
\((0;0)\) - эту точку нужно рассмотреть отдельно. В остальных точках частные производные непрерывны, поэтому функция дифференцируема.
Функция будет дифференцируемой в точке
\((0;0)\), если для её приращения в этой точке выполняется такое равенство:
\(
\Delta f(0;0)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)\cdot\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(0;0)\cdot\Delta{y}+o(\rho).
\)
Здесь
\(\rho=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}\).
Что касается частных производных, то найти их несложно. Для этого удобно использовать такую формулу:
\(
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0;y_0)
=\left. \frac{\partial}{\partial{x}}f(x;y_0)\right|_{x=x_0}
\)
Формула для
\(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0;y_0)\) записывается аналогично. Таким образом, в точке
\((0;0)\) будем иметь:
\(
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)
=\left. \frac{\partial}{\partial{x}}f(x;0)\right|_{x=0}
\)
В данном случае
\(f(x,0)=\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac{1}{x^2}\) при
\(x\neq{0}\) и
\(f(x,0)=0\) при
\(x=0\). Таким образом, нужно найти производную функции одной переменной в точке
\(x=0\):
\(u(x)=\left\{\begin{aligned}&\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac{1}{x^2};\;x\neq{0};\\& 0;\;x=0. \end{aligned}\right.\)
Для отыскания
\(u'(0)\) можно использовать определение производной:
\(
u'(0)
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{u(0+\Delta{x})-u(0)}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\ln\left(1+\Delta{x}^2\right)\cos\frac{1}{\Delta{x}^2}}{\Delta{x}}
\)
Так как функция
\(\frac{\ln\left(1+\Delta{x}^2\right)}{\Delta{x}}\) является бесконечно малой (докажите это самостоятельно, например, с помощью эквивалентностей), а функция
\(\cos\frac{1}{\Delta{x}^2}\) - ограниченная, то их произведение - есть функция бесконечно малая, т.е.
\(u'(0)=0\). Итак,
\(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0;0)=0\).
Аналогично проверьте, что
\(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(0;0)=0\) и запишите первую формулу для
\(\Delta f(0;0)\) с учётом полученных результатов.