Два дифура

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и т.д. Понижение порядка дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Два дифура

Сообщение Vasilij »

Здравствуйте. Можете помочь? Мне для допуска надо пару дифуров сделать: y''-4y'-5y=10e^3x, y"-4y'-5y=0. Я уже забыл это всё, читать сейчас времени нет, мне именно с ходом решения разабраться.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два дифура

Сообщение Добрый Волк »

Поможем, поможем :) Давайте начнём с второго дифура:

\(y''-4y'-5y=0\)

Если вы хотите разобраться в самом алгоритме, то он, поверьте на слово, очень и очень несложен. Для начала сделайте такую замену: \(y''\) замените на \(k^2\), \(y'\) замените на \(k\), а \(y\) просто уберите. То уравнение, которое вы получите, запишите - и с ним поработаем :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Два дифура

Сообщение Vasilij »

Спасибо за быстрый ответ! Заменил: k^2-4k-5=0. Что с ним дальше?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два дифура

Сообщение Добрый Волк »

А дальше решаете его. На всякий случай напишу вам, как решаются такие уравнения:

\(ax^2+bx+c=0; \\ D=b^2-4ac; \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\)

Пример:

\(x^2-2k-3=0\)

Здесь \(a=1, b=-2, c=-3\).

\(D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16 \\ x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1; x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3.\)

Вот и решите ваше уравнение.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Два дифура

Сообщение Vasilij »

Ну вы прям так подробно расписали :) это я еще помню по школе :) там все просто k1=-1; k2=5.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два дифура

Сообщение Добрый Волк »

А теперь применяете схему, которая указана на изображении, и получаете готовый ответ.

Отправка.png
Отправка.png (43.24 КБ) 1592 просмотра

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Два дифура

Сообщение Vasilij »

Да тут вообще все элементарно получается :) Сразу из первого пункта y=c1*e^-1x+c2*e^5x

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два дифура

Сообщение Добрый Волк »

Да, только -1 можно не писать: \(y=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{5x}\). А со вторым уравнением разберёмся чуть позже, когда я вернусь :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Два дифура

Сообщение Vasilij »

Я на всякий случай дописал -1 :) Ок, подожду :)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два дифура

Сообщение Добрый Волк »

Теперь поговорим про первое уравнение, т.е. \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\). Схема решения тут проста: сначала представляем, что в правой части расположен ноль, - и решаем уравнение \(y''-4y'-5y=0\). Полученное решение обозначаем какой-то буквой, например, \(y^{*}\). Просто букву \(y\) использовать нельзя, так как буква \(y\) зарезервирована под решение исходного уравнения \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\). Так как мы уже решили уравнение \(y''-4y'-5y=0\), то сразу и запишем: \(y^{*}=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{5x}\).

Теперь начинается второй этап решения. Уравнение \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\) имеет бесконечное множество ответов. Но нам из этих ответов нужно выбрать какой-то один (обозначим его буквой \(u\)). Это так называемое частное решение. Теперь простая аналогия: что означает фраза "3 - это решение уравнения \(k^2-9=0\)?" Эта фраза означает, что если подставить вместо \(k\) число 3, то мы получим верное равенство: \(3^2-9=0\). То же самое и с дифференциальным уравнением. Если \(u\) - это решение уравнения \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\), то подстановка \(u\) вместо \(y\) обратит уравнение в верное равенство: \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).

Но тут возникает новый вопрос: как, собственно, отыскать эту функцию \(u\)? И вот тут надо смотреть на правую часть уравнения (я отослал вам на почту распечатку по этому вопросу). В данном случае \(u=ae^{3x}\), где \(a\) - неизвестный параметр. Теперь нам нужно найти \(u'\), \(u''\) и поставить в уравнение \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).

Например, \(u'=(ae^{3x})'=a\cdot e^{3x}\cdot (3x)'=a\cdot e^{3x}\cdot 3=3a\cdot e^{3x}\)

Можете попробовать дальше найти \(u''\) самостоятельно.

\(u''=(3a\cdot e^{3x})'=\ldots\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Дифференциальные уравнения»