ДУ 2 порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и т.д. Понижение порядка дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Евгений
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 18 окт 2016, 16:17

ДУ 2 порядка

Сообщение Евгений »

y''-6y'=e^12x/(1+e^12x)
Вложения
3DUkPkwAKlA.jpg
3DUkPkwAKlA.jpg (83.56 КБ) 3922 просмотра

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: ДУ 2 порядка

Сообщение Добрый Волк »

Здесь надо составить ФСР (фундаментальную систему решений). Так как корнями характеристического уравнения являются числа \(k_1=0\) и \(k_2=6\), то ФСР состоит из двух функций:

\(y_1=1\), \(y_2=e^{6x}\)

Общее решение соответствующего однородного уравнения таково: \(\bar{y}=C_1y_1+C_2y_2=C_1+C_2e^{6x}\)

Частное решение неоднородного уравнения можно искать по-разному. Я предпочитаю готовую формулу:

\(u=-y_1\int\frac{y_2f(x)dx}{W(y_1,y_2)}+y_2\int\frac{y_1f(x)dx}{W(y_1,y_2)}\)

Получаемые при интегрировании интегральные константы полагаем равными нулю. Обозначение \(W(y_1, y_2)\) означает вронскиан:

\(W(y_1,y_2)=\left|\begin{aligned}&y_1&y^2\\&y_{1}^{'}&y_{2}^{'} \end{aligned}\right|\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Дифференциальные уравнения»