Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и т.д. Понижение порядка дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

Помогите пожалуйста решить! Нужно найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными и частное решение, удовлетворяющее начальному условию.
Вложения
задание 6.jpg
задание 6.jpg (3.76 КБ) 3698 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Добрый Волк »

Для начала перенесите \(x\) в правую часть уравнения, а затем замените \(y'\) на \(\frac{dy}{dx}\). После этого запишите, что получилось, и продолжим.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

yy'=3-x-x^2
y*\(\frac{dy}{dx}\)=-x^2-x+3
Так?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Добрый Волк »

Почти :) Икс нельзя так "отрывать" от выражения \(x^2yy'\). Можно просто разделить обе части на \(x^2\).

Т.е. сначала переносим \(x\) в правую часть:

\(x^2yy'=3-x\)

А затем делим на \(x^2\) обе части:

\(yy'=\frac{3-x}{x^2}\), \(y\frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{x^2}\)

А далее \(dx\) перебрасываем в правую часть, после чего берем два интеграла:

\(ydy=\frac{3-x}{x^2}dx\), \(\int{ydy}=\int\frac{3-x}{x^2}dx\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

∫ydy=∫\(\frac{3-x}{x^2}dx\)

Как первую часть разложить не пойму...а тут ∫\(\frac{3-x}{x^2}dx\) пусть t=3-x, \(\frac{dx}{x^2}\)=\(\frac{-1}{x}+C\)
тогда \(\int \frac{-t}{x}+C=\frac{-3+x}{x}+C=-3+C\)

или бред? :geek: :wall:

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Добрый Волк »

первый интеграл \(\int{ydy}\) табличный. А для второго интеграла делайте разложение:

\(\frac{3-x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{x}{x^2}=3x^{-2}-\frac{1}{x}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

\(\int ydy=\frac{y^{1+1}}{1+1}+C=\frac{y^{2}}{2}+C\)

Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

Так? И что делать с условием у(1)=2?
Вложения
imgonline-com-ua-compress-by-sizeYoOdotwXKzVy.jpg
imgonline-com-ua-compress-by-sizeYoOdotwXKzVy.jpg (191.83 КБ) 3674 просмотра

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Добрый Волк »

В принципе, решение более-менее норм, однако есть мелкие и средние огрехи вроде забытых скобок и модуля для логарифма. Константу, кстати, добавлять надо лишь к одной из частей равенства :) С учётом \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), можно записать так:


\(\int\frac{3-x}{x^2}dx
=\int\left(3x^{-2}-\frac{1}{x}\right)dx
=3\int{x^{-2}}dx-\int\frac{dx}{x}
=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C
\)


Ну и что касается самого уравнения, то для него получим:

\(\int{ydy}=\int\frac{3-x}{x^2}dx\),
\(\frac{y^2}{2}=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C\),
\(\frac{y^2}{2}+\frac{3}{x}+\ln|x|=C\).

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mitrova
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 09 май 2017, 20:08

Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Сообщение Mitrova »

Огромное спасибо Вам Добрый Волк!! Вы меня очень выручили!!! :good:

Ответить

Вернуться в «Дифференциальные уравнения»